Satz von Schoenflies

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Der im Jahre 1908 von Arthur Moritz Schoenflies bewiesene Satz von Schoenflies bildet ein wesentliches Bindeglied zwischen der Topologie und dem kombinatorischen Problem des Kartenfärbens (Vier-Farben-Satz). Anschaulich besagt er: Malt man eine geschlossene Kurve (ohne Überkreuzungen) auf ein Gummituch, dann kann man das Tuch so verziehen, dass aus der Kurve ein Kreis wird.

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine geschlossene Jordankurve und bezeichne den Einheitskreis. Dann läßt sich jeder Homöomorphismus zu einem Homöomorphismus fortsetzen.

Höhere Dimensionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die unmittelbare Verallgemeinerung des Satzes von Schoenflies auf höhere Dimensionen gilt nicht, da in drei Dimensionen Alexanders Sphäre (siehe[1] und Weblink) ein Gegenbeispiel bietet.

Dagegen hat Morton Brown den Satz wie folgt verallgemeinert: Wird eine -dimensionale Sphäre lokal flach in eine -dimensionale Sphäre eingebettet, so ist das Paar homöomorph zu , wobei der Äquator der -Sphäre ist. (Dabei heißt eine Einbettung lokal flach, wenn es eine Einbettung gibt, die auf mit übereinstimmt.)

Folgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Schoenflies zieht unmittelbar den Jordanschen Kurvensatz nach sich: Die beiden disjunkten Gebiete, in die     zerlegt wird, sind gerade    (das beschränkte Gebiet) und    (das unbeschränkte Gebiet).[2]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Morton Brown: A proof of the generalized Schoenflies theorem. In: Bulletin of the American Mathematical Society, 66, 1960, ISSN 0002-9904, S. 74–76, ams.org (PDF; 280 kB)
  • Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of topology. Verlag Marcel Dekker, New York [u. a.] 1977, ISBN 0-8247-6331-9.
  • Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of topology. Verlag Marcel Dekker, New York [u. a.] 1977, ISBN 0-8247-6331-9, S. 144.
  2. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 150 (MR0533264).