Satz von Schur-Zassenhaus

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Der Satz von Schur-Zassenhaus ist ein mathematischer Satz in der Gruppentheorie. Der nach Issai Schur und Hans Julius Zassenhaus benannte Satz lautet[1]:

  • Für eine endliche Gruppe und einen Normalteiler mit existiert eine Untergruppe mit und . Die Gruppe ist also das semidirekte Produkt aus und .

Die Untergruppe in obigem Satz ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, aber man kann zeigen, dass je zwei solche Untergruppen konjugiert sind.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die zyklische Gruppe hat den Normalteiler . Da die Zahlen und teilerfremd sind, kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden. ist offenbar die einzige Untergruppe, die die Aussage des Satzes erfüllt. Da die Gruppe abelsch ist, ist das semidirekte Produkt in diesem Fall sogar direkt.
  • Die symmetrische Gruppe hat den Normalteiler . Wegen und kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden, offenbar erfüllen die drei Untergruppen die Aussage des Satzes.
  • Die zyklische Gruppe hat den Normalteiler . Hier sind und nicht teilerfremd, weshalb der Satz nicht anwendbar ist. Tatsächlich gibt es keine Untergruppe , die die Aussage des Satzes erfüllt, denn eine solche müsste ein Element der Ordnung 2 haben, aber das einzige Element der Ordnung 2 ist und das liegt bereits in . Dieses Beispiel zeigt, dass auf die Teilerfremdheit von und in obigem Satz nicht verzichtet werden kann.
  • Ist irgendeine Gruppe, so zeigt das Beispiel , dass die Teilerfremdheitsbedingung nicht notwendig ist für das Bestehen einer Darstellung als semidirektes, ja sogar direktes, Produkt.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Rowen B. Bell, J. L. Alperin: Groups and Representations, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Band 162, ISBN 0-387-94526-1 (Kapitel 9: The Schur-Zassenhaus-Theorem)

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]