Satz von Stolz

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Der Satz von Stolz, stolzsche Grenzwertsatz oder Satz von Stolz-Cesàro handelt von Grenzwerten in der Mathematik. Er ist benannt nach dem österreichischen Mathematiker Otto Stolz (1842–1905) und dem italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro (1859–1906).

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und Folgen in mit

  1. und streng monoton fallend oder
  2. und streng monoton wachsend

und existiert der Grenzwert

,

dann gilt:

.

Beweis des zweiten Falls[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach der Annahme der Konvergenz der Differenzenquotienten mit einem Grenzwert existiert für jedes ein , sodass für alle der Differenzenquotient zum Index in der Umgebung liegt. Es gibt also für jedes ein mit

;

für gilt .

Summiert man diese Beziehungen nach von bis , so erhält man die Gleichung

.

Somit gilt für den Quotienten der Folgenglieder

Der erste Summand der rechten Seite konvergiert gegen null, da die Folge unbeschränkt wächst. Aus demselben Grunde konvergiert der zweite Summand gegen . Aufgrund der Monotonie der Folge gilt für den dritten Summanden

.

Man kann nun ein finden, sodass für alle auch in den ersten zwei Summanden die Differenz zum Grenzwert durch beschränkt ist, für alle erhält man dann die Abschätzung

,

somit konvergiert die Folge der Quotienten gegen .

Zur Umkehrung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Umkehrung des obigen Satzes ist im Allgemeinen falsch. Betrachtet man die beiden Folgen

dann gilt . Die Folge hat jedoch keinen Grenzwert.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien zwei weitere Folgen und derart, dass und . Weiterhin sei streng monoton und unbeschränkt wachsend.

Aus

folgt dann

.

Die oben genannten Voraussetzungen an werden z. B. erfüllt von

  • der harmonischen Folge , d h. ,
  • jeder Folge mit positivem Grenzwert, wie , d. h. ,
  • jeder monoton wachsenden Folge, wie , d. h. .

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Spezialfall ist der Cauchysche Grenzwertsatz, dass also die Folge der Cesàro-Mittel einer konvergenten Folge wieder gegen den Grenzwert der Folge konvergiert.

In gewisser Weise stellt der Satz von Stolz für die Grenzwertberechnung bei Folgen ein Analogon zur Regel von de l’Hospital für die Grenzwertberechnung von Funktionen dar.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Marian Mureşan: A Concrete Approach to Classical Analysis. Springer 2008, ISBN 9780387789323, S. 85–88 (Auszug (Google))
  • A. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: Real Analysis on Intervals. Springer, 2014, ISBN 9788132221487, S. 59–62 (Auszug (Google))
  • J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital’s Rule. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1 (Februar 2012), S. 52–60 (JSTOR)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]