Satz von Stolz

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Satz von Stolz, stolzsche Grenzwertsatz oder Satz von Stolz-Cesàro handelt von Grenzwerten in der Mathematik. Er ist benannt nach dem österreichischen Mathematiker Otto Stolz (1842–1905) und dem italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro (1859–1906).

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und Folgen in mit

  1. und streng monoton fallend oder
  2. und streng monoton wachsend

und existiert der Grenzwert

,

dann gilt:

.

Beweis des zweiten Falls[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach der Annahme der Konvergenz der Differenzenquotienten mit einem Grenzwert existiert für jedes ein , sodass für alle der Differenzenquotient zum Index in der Umgebung liegt. Es gibt also für jedes ein mit

;

für gilt .

Summiert man diese Beziehungen nach von bis , so erhält man die Gleichung

.

Somit gilt für den Quotienten der Folgenglieder

Der erste Summand der rechten Seite konvergiert gegen null, da die Folge unbeschränkt wächst. Aus demselben Grunde konvergiert der zweite Summand gegen . Aufgrund der Monotonie der Folge gilt für den dritten Summanden

.

Man kann nun ein finden, sodass für alle auch in den ersten zwei Summanden die Differenz zum Grenzwert durch beschränkt ist, für alle erhält man dann die Abschätzung

,

somit konvergiert die Folge der Quotienten gegen .

Zur Umkehrung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Umkehrung des obigen Satzes ist im Allgemeinen falsch. Betrachtet man die beiden Folgen

dann gilt . Die Folge hat jedoch keinen Grenzwert.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien zwei weitere Folgen und derart, dass und . Weiterhin sei streng monoton und unbeschränkt wachsend.

Aus

folgt dann

.

Die oben genannten Voraussetzungen an werden z. B. erfüllt von

  • der harmonischen Folge , d h. ,
  • jeder Folge mit positivem Grenzwert, wie , d. h. ,
  • jeder monoton wachsenden Folge, wie , d. h. .

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Spezialfall ist der Cauchysche Grenzwertsatz.

In gewisser Weise stellt der Satz von Stolz für die Grenzwertberechnung bei Folgen ein Analogon zur Regel von L’Hospital dar.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Marian Mureşan: A Concrete Approach to Classical Analysis. Springer 2008, ISBN 9780387789323, S. 85–88 (Auszug (Google))
  • A. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: Real Analysis on Intervals. Springer, 2014, ISBN 9788132221487, S. 59–62 (Auszug (Google))
  • J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital’s Rule. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1 (Februar 2012), S. 52–60 (JSTOR)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]