Satz von Varignon

Der Satz von Varignon (auch als Satz vom Mittenviereck bezeichnet) beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken. Namensgeber ist Pierre de Varignon (1654–1722), der diesen Lehrsatz als erster publizierte.

Formulierung

Viereck mit konstruiertem Parallelogramm

Wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm, welches (auch) als Varignon-Parallelogramm bezeichnet wird.^{[A 1]}

Beweis

Sei $ABCD$ ein Viereck und seien $E,F,G,H$ die Mittelpunkte der Seiten (siehe Abbildung). Betrachte das Dreieck $ABC$ . Nimmt man $B$ als Streckzentrum einer zentrischen Streckung, werden $A$ auf $E$ und $C$ auf $F$ mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bildgerade und Urgerade sind parallel – folgt $AC\parallel EF$ . Ebenso zeigt man, dass auch $AC\parallel GH$ . Per Transitivität der Parallelitätsrelation folgt $EF\parallel HG$ . Auf analoge Weise zeigt man, dass auch die beiden anderen Seiten des Mittenvierecks parallel zueinander sind. Das Viereck $EFGH$ besteht also aus zwei Paaren paralleler Seiten, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Folgerungen

Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Ursprungsviereck, und die Fläche des Varignon-Parallelogramms ist halb so groß wie die Fläche des Ursprungsvierecks.

Der räumliche Fall

Der varignonsche Satz gilt auch für jedes beliebige Viereck im Anschauungsraum, also unabhängig davon, ob ein ebenes Viereck oder ein konvexes Viereck vorliegt. Ebenso gilt stets die oben genannte erste Folgerung.^[1]

Weiteres Resultat

Darüber hinaus gilt noch der folgende Zusatz:^[2]

In einem konvexen Viereck halbiert der Schnittpunkt der beiden Verbindungsstrecken zwischen den jeweils einander gegenüberliegenden Seitenmitten stets die Verbindungsstrecke zwischen den Mittelpunkten der beiden Diagonalen.^{[A 2]}

Siehe auch

Literatur

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Aus dem Englischen übersetzt von Thomas Filk. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-34792-4, S. 125 ff.
Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, S. 652–653.
Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 76-77
H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. MAA, Washington 1967, S. 52–54
Peter N. Oliver: Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem (PDF; 194 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 4, April 2001, S. 316–319
Peter N. Oliver: Consequences of Varignon Parallelogram Theorem (PDF; 559 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 5, Mai 2001, S. 406–408

Weblinks

Eric W. Weisstein: Varignon’s Theorem. In: MathWorld (englisch).
Varignon-Parallelogram in Compendium Geometry (englisch)
Satz von Varignon bei Matroids Matheplanet
Varignon parallelogram auf cut-the-knot-org

Einzelnachweise

↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum 2013, S. 125–126
↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum 2013, S. 126–127

Anmerkungen

↑ Kurz gesagt gilt also: In einem Viereck ist das Mittenviereck stets ein Parallelogramm.
↑ Ist im Grenzfall das vorliegende konvexe Viereck selbst schon ein Parallelogramm, so besteht nach dem Diagonalensatz die zuletzt genannte Verbindungsstrecke aus einem einzigen Punkt, welcher dann mit dem genannten Schnittpunkt und dem gemeinsamen Mittelpunkt der beiden Diagonalen zusammenfällt und zugleich das Symmetriezentrum bildet.

[2] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum 2013, S. 125–126

[3] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum 2013, S. 126–127

[1] Kurz gesagt gilt also: In einem Viereck ist das Mittenviereck stets ein Parallelogramm.

[4] Ist im Grenzfall das vorliegende konvexe Viereck selbst schon ein Parallelogramm, so besteht nach dem Diagonalensatz die zuletzt genannte Verbindungsstrecke aus einem einzigen Punkt, welcher dann mit dem genannten Schnittpunkt und dem gemeinsamen Mittelpunkt der beiden Diagonalen zusammenfällt und zugleich das Symmetriezentrum bildet.

[A 1]

[1]

[2]

[A 2]