Satz von Varignon

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Der Satz von Varignon beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken. Namensgeber ist Pierre de Varignon (1654–1722).

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Viereck mit konstruiertem Parallelogramm

Wenn man die Mitten benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Behauptung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Viereck EFGH ist ein Parallelogramm.

Gang des Beweises[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Betrachte das Dreieck ABC. Nimmt man B als Streckzentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bildgerade und Urgerade sind parallel – folgt AC ∥ EF.
  2. Ebenso zeigt man, dass AC ∥ GH, BD ∥ FG, und BD∥ HE.
  3. Die Parallelität ist transitiv. Also ist EF ∥ HG und FG ∥ HE.

Die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Umfang des Varignon-Parallelogramms[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Diagonalen im Ursprungsviereck.

Fläche des Varignon-Parallelogramms[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fläche des Varignon-Parallelogramms ist halb so groß wie die Fläche des Ursprungsvierecks.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]