Satz von Wiener-Ikehara

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Der Satz von Wiener-Ikehara (manchmal auch Taubersatz von Wiener-Ikehara) ist ein mathematischer Satz, der besonders in der analytischen Zahlentheorie Anwendung findet. Unter gewissen Voraussetzungen macht er Aussagen über das asymptotische Verhalten zahlentheoretischer Funktionen. Er ist nach Norbert Wiener und Shikao Ikehara benannt.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei auf der Halbebene gegeben durch die Dirichletreihe

wobei für alle . Ferner besitze die Funktion

für ein eine stetige Fortsetzung auf die geschlossene Halbebene . Dann gilt bereits

.

Version für Integrale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine reellwertige Funktion, welche folgende Eigenschaften erfülle:

  • sie ist monoton steigend,
  • sie verschwindet für alle Werte ,
  • sie ist rechtsstetig.

Weiter existiere die Mellin-Stieltjes-Transformierte

für alle Werte . Gibt es nun ein , so dass sich die Funktion

stetig auf die halbebene fortsetzen lässt, so gilt bereits

.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein einfaches Beispiel liefert die Riemannsche Zetafunktion , welche auf der Halbebene durch die Standard-Dirichletreihe

gegeben ist. Sie kann zu einer auf holomorphen Funktion fortgesetzt werden und besitzt in einen Pol erster Ordnung mit Residuum . Daraus folgt, dass

eine ganze Funktion ist, also insbesondere von stetig auf die Halbebene fortgesetzt werden kann. In der Tat gilt

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe des Taubersatzes von Wiener-Ikehara kann der Primzahlsatz bewiesen werden. Dabei wird der Satz auf die Dirichletreihe der Funktion angewendet, wobei zunächst gezeigt werden muss, dass die Zetafunktion auf der Geraden nicht verschwindet. Es folgt

was äquivalent zum Primzahlsatz ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-21058-X.
  • S. Ikehara: An extension of Landau's theorem in the analytic theory of numbers, Journal of Mathematics and Physics of the Massachusetts Institute of Technology, Band 10, 1931, S. 1–12
  • Norbert Wiener: Tauberian Theorems, Annals of Mathematics, Second Series, Band 33, 1932, S. 1–100