Schönhage-Strassen-Algorithmus

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Der Schönhage-Strassen-Algorithmus ist ein Algorithmus zur Multiplikation zweier n-stelliger ganzer Zahlen. Er wurde 1971 von Arnold Schönhage und Volker Strassen entwickelt.[1] Der Algorithmus basiert auf einer superschnellen Variante der diskreten schnellen Fourier-Transformation sowie einem geschickten Wechsel zwischen der Restklassen- und der zyklischen Arithmetik in endlichen Zahlenringen.

Der Schönhage-Strassen-Algorithmus terminiert in (siehe Landau-Notation), wenn als Effizienzmaß die Bitkomplexität auf mehrbändigen Turingmaschinen, also die maximale Laufzeit des Algorithmus gemessen als benötigte Bitoperationen in Abhängigkeit von der Bitlänge der Eingabegrößen gewählt wird. Diese Komplexität stellt eine Verbesserung sowohl gegenüber dem naiven aus der Schule bekannten Algorithmus der Laufzeit als auch gegenüber dem 1962 entwickelten Karatsuba-Algorithmus mit einer Laufzeit von sowie dessen verbesserter Variante, dem Toom-Cook-Algorithmus mit Laufzeit dar.

Der Schönhage-Strassen-Algorithmus war von 1971 bis 2007 der effizienteste bekannte Algorithmus zur Multiplikation großer Zahlen; 2007 veröffentlichte Martin Fürer eine Weiterentwicklung des Algorithmus mit der noch niedrigeren asymptotischen Komplexität , wobei der iterierte Logarithmus von n ist.[2] Durch Optimierungen des Algorithmus von Fürer erreichten David Harvey, Joris van der Hoeven und Grégoire Lecerf eine weitere Verbesserung der asymptotischen Laufzeit auf .[3]

Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bis 2007 konnte kein effizienterer Algorithmus gefunden werden. Als untere Schranke gibt es für den allgemeinen Fall nur die (triviale) lineare Laufzeit, an die sich der Algorithmus mit wachsender Zahlenlänge annähert. Allerdings haben die Forscher Hinweise dafür gefunden, dass die Schranke niemals unterboten werden kann. Selbst bei modernen Computern ist diese Methode der Berechnung erst bei Zahlen mit mehreren tausend Stellen effizienter als der Karatsuba-Algorithmus. Dies liegt wohl allerdings weniger am Overhead des Schönhage-Strassen-Algorithmus, sondern vielmehr an der seit Jahrzehnten typischen Designoptimierung der Computerprozessoren, die dem Erreichen schneller Gleitkommaoperationen den Vorzug vor der Arithmetik in endlichen Restklassenringen ganzer Zahlen gibt.

Für die Suche nach den Algorithmen mit der besten (Zeit-) Komplexität in der Computer-Algebra genießt der Schönhage-Strassen-Algorithmus zentrale Bedeutung.

Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grundidee und Terminologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um zwei ganze Zahlen und zu multiplizieren, wird im Groben folgendes Schema angewandt:

  1. Aufspaltung der Zahlen (in Binärdarstellung) und in Stücke passender Länge
  2. Schnelle diskrete Fourier-Transformation der beiden Stückfolgen
  3. Komponentenweise Multiplikation der transformierten Stücke
  4. Rücktransformation (inverse Fouriertransformation) der Ergebnisse
  5. Zusammensetzen der Ergebnisstücke zur Ergebniszahl

Die im mittleren Schritt durchzuführenden kleinen Multiplikationen werden im rekursiven Sinne wiederum durch den Schönhage-Strassen-Algorithmus ausgeführt.

Um zu verstehen, warum das Ergebnis das Produkt der Zahlen a und b ist, betrachtet man die Polynome

und

Setzt man ein, so erhält man gerade die Binärdarstellung der Zahlen a und b. Zu berechnen ist für das Produktpolynom

Wir bestimmen die Fouriertransformierte der Koeffiziententupel von A und B:

für
für

Anders gesagt wertet man die beiden Polynome an den Stellen aus. Multipliziert man nun diese Funktionswerte, so ergeben sich die entsprechenden Funktionswerte des Produktpolynoms

.

Um das Polynom selbst zu gewinnen, müssen wir die Transformation rückgängig machen:

für
für
für

Nach Definition der Einheitswurzeln gilt . Diese genügt folgender Identität geometrischer Summen von Einheitswurzeln:

für

denn

für

Somit gilt:

für

Im Artikel Diskrete Fourier-Transformation sind die mathematische Grundlagen dieser Transformation weiter ausgeführt. Da bei der Transformation Summen mit jeweils Termen entstehen, haben wir bei einer klassischen Berechnung der Terme (etwa durch das Horner-Schema) nach wie vor eine quadratische Laufzeit. Mittels der schnellen Fourier-Transformation kann man diese Werte schneller berechnen. Diese Berechnung beruht auf folgendem Teile und herrsche Prinzip:

Man setzt Teillösungen mittels einfacher Operationen (Addition und einfache Multiplikation) zusammen. Damit können die Transformationen in Zeit berechnet werden. Durch das Runden der komplexen Einheitswurzeln auf feste Stellenlänge ergeben sich jedoch Rechenfehler. Um diese auszugleichen, muss für ein resultierendes Bit mit mindestens Bits gerechnet werden. Daraus ergibt sich eine Gesamtlaufzeit von . Bei der Schönhage-Strassen-Variante rechnen wir stattdessen in einem Restklassenring und vermeiden damit die Rechenfehler der komplexen Zahlen.

Des Weiteren ist die Multiplikation keine reine Faltung, sondern es kann auch zu Überträgen kommen; nach Durchführen der FT und iFT müssen diese passend behandelt werden.

Die Aufgabe der Multiplikation zweier ganzer Zahlen wird nun wie folgt konkretisiert:

Es seien die zwei zu multiplizierenden Zahlen in Binärzifferdarstellung gegeben. Weiter sei die maximale Länge (also Binärziffernanzahl) der beiden Zahlen.

Nach passender Behandlung der Vorzeichen der beiden Zahlen sowie der trivialen Sonderfälle und (was mit linearem Aufwand machbar ist) darf man davon ausgehen, dass natürliche Zahlen sind. Der Schönhage-Strassen-Algorithmus löst diese Aufgabe in .

Theoretische Vorbereitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Superschnelle DFT[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die oben angesprochene superschnelle DFT, die das Kernstück des Algorithmus darstellt, muss etwas ausführlicher erläutert werden, da sie hier sehr speziell eingesetzt wird.

Es sei ein kommutativer unitärer Ring. In sei das Element eine Einheit; weiterhin sei eine te Einheitswurzel (also ), die die Gleichheit erfüllt. Dann lässt sich die Berechnung der diskreten Fouriertransformation (DFT) im Produktraum (dies ist eine Kurznotation für ; der Begriff Vektorraum ist hier nur für den Fall, dass ein Körper ist, üblich) wie folgt in einer schnellen Variante (als FFT) durchführen:

Zu berechnen ist für die Transformierte mit

für .

Indem wir die Indizes und in Binärdarstellung aufschreiben, wobei wir dies bei der Zahl in umgekehrter Reihenfolge tun, ist die Transformierte wie folgt optimiert berechenbar:

Es seien

für

und

.

Die geschlossene Darstellung für diese Zwischenterme ist

.

(Zum Nachrechnen dieser Darstellung beachte man ).

Diese Rekursion liefert die gewünschten Fourierkoeffizienten .

Aufgrund der Eigenschaft können wir den Rekursionsschritt etwas berechnungsfreundlicher umformen zu

und

mit dem gleichen Exponenten .

Die Umkehrtransformation, also die inverse FFT, gelingt, da wir vorausgesetzt haben, dass im Ring invertierbar ist:

sowie

,

wobei wiederum ist.

In der Anwendung im Schönhage-Strassen-Algorithmus wird tatsächlich nur eine halbierte FFT benötigt; gemeint ist damit folgendes: Beginnen wir im 1. Schritt der Rekursion mit der Berechnung

nur für und schränken wir die weiteren Schritte der Rekursion ebenso auf ein, so berechnen wir gerade alle für ungerade Werte . Will man umgekehrt aus diesen für ungerade (das sind Stück) lediglich die Differenzen der ursprünglichen zurückgewinnen, so genügt auch in der Rückrichtung die halbierte Rekursion.

Im Schönhage-Strassen-Algorithmus wird die geschilderte schnelle Fouriertransformation für endliche Zahlenringe mit Fermatzahlen benötigt.

Hinweis zur Notation: Für den Restklassenring benutzen wir hier die kürzere Schreibweise , die lediglich im Kontext der p-adischen Zahlen zu Verwechslungen führen könnte.

Als Einheitswurzel wird im Ring die Zahl (oder je nach Kontext auch eine geeignete Potenz von 2) zum Einsatz kommen. Die beim FFT-Algorithmus durchzuführenden Multiplikationen sind dann von der Form ; allerdings sind sie nicht als reine Shift-Operationen durchführbar, da das Reduzieren eines größeren Zwischenergebnisses modulo noch nachgeschoben werden muss. Hier greift eine der brillanten Ideen von Schönhage und Strassen: Sie betten den Ring (ausgestattet mit der Restklassenarithmetik) passend in einen größeren, mit der zyklischen Arithmetik ausgestatteten Überring ein. Dieser Überring hat eine 2-Potenz als Ordnung, so dass in ihm die entsprechende Multiplikation tatsächlich als reine Shift-Operation durchführbar ist. Diesen Trick kann man in einem schönen Struktursatz über Restklassen- und zyklische Arithmetik in endlichen Zahlenringen zusammenfassen.

Struktursatz über zyklische Arithmetik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Struktursatz über zyklische Arithmetik lässt sich formal wie folgt fassen:

Für eine Zweierpotenz mit einer natürlichen Zahl gilt

.

Hierbei bezeichnet die durch die Repräsentanten darstellbaren Restklassen modulo ausgestattet mit der Restklassenarithmetik, d. h. mit der Addition und Multiplikation modulo . Die in diesem Restklassenring vorkommenden Zahlen können mit Binärziffern dargestellt werden.

Die auf der rechten Seite vorkommende Struktur bezeichnet die Restklassen modulo der Zahl , die allerdings nicht mit der Restklassenarithmetik, sondern abweichend mit der zyklischen Arithmetik ausgestattet werden. Hierbei werden bei Zwischenergebnissen, die zu groß werden, Überträge aufgehoben und auf das Endergebnis additiv aufgeschlagen. Dies entspricht in Binärzifferdarstellung einer Verschiebung der überständigen Binärziffern (rechtsbündig an die niedrigsten Zifferpositionen gestellt) mit nachfolgender Addition. Beispielsweise ergibt die Addition mit nicht den Wert , sondern den Wert . Aus der so erhaltenen Zahlenstruktur mit zyklischer Arithmetik wird nun noch der Faktorring modulo gebildet. Es werden also die Endergebnisse noch modulo reduziert.

Damit besagt dieser Struktursatz folgendes: Das modulo-Rechnen in kann ebenso ersetzt werden durch das zyklische Rechnen im größeren Zahlenraum mit nachfolgendem Reduzieren modulo .

Entscheidend für das Gelingen der in diesem Struktursatz vorgestellten Einbettung ist die Eigenschaft, dass die größte darstellbare Zahl im zyklischen Zahlenraum (hier ist dies die Zahl ) die Zahl aus dem Restklassenring repräsentiert. Hierfür ist die Bedingung notwendig. Damit die zyklische Arithmetik aber überhaupt sinnvoll definiert werden kann, muss andererseits eine Zweierpotenz sein. Zusammen ergibt sich, dass die optimale Wahl für die Größe des zyklischen Einbettungsraumes darstellt.

Der klassische Restklassenring wäre für die Einbettung dagegen nicht geeignet, denn in diesem Ring gilt , d. h. die Zahl ist in diesem Ring ein Nullteiler.

Durchführung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Haben wir die zu multiplizierenden Zahlen mit Binärziffern vorliegen, so führen wir je nachdem, ob gerade oder ungerade ist, unterschiedliche Rekursionsschritte aus, um die Stellenzahl in einem Einzelschritt zu logarithmieren:

Rekursionsschritt für ungerades m[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diesen Schritt der Rückführung von auf führen wir mit der Komplexität durch.

Es seien mit und der Fermatzahl zu multiplizieren. Wir werden in diesem Schritt die Rückführung auf die Fermatzahl vollziehen.

Für die zu den beiden Fermatzahlen gehörenden Zweierpotenzen führen wir die Abkürzungen

und

ein. Die halbierte Stellenzahl von wird unsere Stückelungsgröße werden, d. h. wir entwickeln und nach Potenzen von :

und ,

wobei für die Einzelstücke gilt. In Binärdarstellung entspricht diese Zerlegung einer einfachen Gruppierung der Bitfolgen in Stücke der Länge Bits.

Eine kleine Schwäche des Algorithmus (die allerdings der erreichten Komplexitätsschranke keinen Abbruch tut) offenbart sich jetzt. Um die superschnelle DFT auf die Stückfolgen und anwenden zu können, müssen diese zur nächsten Zweierpotenzlänge mit Nullen aufgefüllt werden; die Zahlendarstellung wird also künstlich verlängert zu

und .

Vermöge des oben erwähnten Struktursatzes zur zyklischen Arithmetik wechseln wir nun vom Restklassenring über zum Quotientenraum mit der zyklischen Arithmetik. In diesem Raum errechnet sich für die Multiplikationsaufgabe

,

wobei wir im letzten Schritt die Eigenschaft in diesem zyklischen Zahlenraum benutzt haben.

Zusammenfassend erhält die Multiplikation also die Form

mit den Ergebniskoeffizienten

.

Wir können nach oben abschätzen.

Nun folgt eine Umschreibung der Summenformel, damit wir uns bei der anzuwendenden FFT auf eine halbierte FFT beschränken können.

Es gilt , also ist

mit in . Durch passende Addition können wir den Wertebereich ins Positive verschieben, es ist nämlich , und mit der Definition

gilt

.

Für die nichttrivialen (Indizes bis ) gilt die Abschätzung . Da die beiden Zahlen und teilerfremd ist, genügt zur Bestimmung der die Berechnung der Reste und .

Hat man nämlich die Reste und bestimmt, so kann man in Komplexität wie folgt rechnen: Berechne erst und dann .

Bestimmung der Reste modulo 2n+2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier wenden wir einen für die Computeralgebra sehr typischen Trick an: Wir setzen die Stückfolgen und durch Einfügen genügend langer Nullsequenzen mit Sicherheitsabständen so zusammen, dass nach Produktbildung die Einzelergebnisse ebenfalls noch ohne Überlappungen in Stücken aneinandergereiht sind. Es seien also und in . Wir bilden nun

und

und haben dabei . Das Produkt enthält dann in disjunkten Stücken der Bitlänge die Summen

mit , denn es ist . Für die Terme unserer ursprünglichen Multiplikationsaufgabe sehen wir

.

Für die zu bestimmenden Reste erhalten wir

in .

Der Komplexitätsaufwand für die Bildung aller sowie der Extraktion der ist ; die Multiplikation kostet , insgesamt ist dies also .

Bestimmung der Reste modulo (D+1)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier kommt die DFT zum Einsatz. Wir unterziehen die Vektoren und mit der DFT in mit und der Zahl als -ter Einheitswurzel. Da wir nur die Differenzen benötigen, genügt die halbierte DFT:

  • DFT zur Bestimmung der und nur für die ungeraden mit
  • Multiplikationen für alle ungeraden
  • Inverse DFT zur Gewinnung aller Differenzen aus den für ungerade

Der Komplexitätsaufwand hierfür besteht aus Schritten des Einzelaufwands für die DFT (gesamt also ); hinzu kommen die Addition von sowie die Reduktionen modulo für die Gewinnung der , was in bewältigt werden kann.

Rekursionsschritt für gerades m[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch für diesen Schritt der Rückführung von auf wird die Komplexität erreicht.

Es seien mit und der Fermatzahl zu multiplizieren. Wir werden auch in diesem Schritt die Rückführung auf die Fermatzahl vollziehen.

Für die zu den beiden Fermatzahlen gehörenden Zweierpotenzen führen wir analog die Abkürzungen

und

ein. Wiederum wird die halbierte Stellenzahl von unsere Stückelungsgröße werden, d. h. wir entwickeln und nach Potenzen von :

und ,

wobei für die Einzelstücke gilt.

Wie oben verlängern wir die Zahlendarstellung auf Zweierpotenzlänge zu

und analog für .

Unter abermaliger Zuhilfenahme des Struktursatzes zur zyklischen Arithmetik wechseln wir nun vom Restklassenring über zum Quotientenraum mit der zyklischen Arithmetik.

Damit können wir wieder

mit den Ergebniskoeffizienten

darstellen. Dabei können wir nach oben abschätzen.

Aus können wir wieder

folgern, und mit

gilt

mit . Für die nichttrivialen (Indizes bis ) gilt die Abschätzung . Wegen der Teilerfremdheit der beiden Zahlen und genügt es wieder zur Bestimmung der , die Reste und zu berechnen.

Bestimmung der Reste modulo 2n+1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir wenden wieder den Trick der Einfügung von Sicherheitsabständen an: Es seien also und in . Wir bilden

und

und haben dabei . Das Produkt enthält dann in disjunkten Stücken der Bitlänge die Summen

mit . Für die gesuchten unserer ursprünglichen Multiplikationsaufgabe sehen wir

.

Für die zu bestimmenden Reste erhalten wir

in .
Bestimmung der Reste modulo (D+1)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit unterziehen wir wieder die Vektoren und mit der DFT in , wobei wir diesmal die Zahl als -te Einheitswurzel wählen. Da wir nur die Differenzen benötigen, genügt hier wiederum die halbierte DFT:

  • DFT zur Bestimmung der und nur für die ungeraden mit
  • Multiplikationen für alle ungeraden
  • Inverse DFT zur Gewinnung aller Differenzen aus den für ungerade

Zusammenfassung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Startend mit und mit Ziffernlänge wird durch die dargestellte Rekursion eine Komplexität von erreicht.

Abgewandelte Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zimmermann und Brent beschreiben eine Variante des Algorithmus, bei der die Laufzeit (in Abhängigkeit von der Länge der Eingabe) keine Sprünge macht, sondern stetiger verläuft. Dies wird erreicht, indem die DFT-Vektoren nicht aus -stelligen Binärzahlen, sondern Zahlen der passenden Länge gebildet werden. Dadurch muss die Länge der zu transformierenden Vektoren keine Zweierpotenz sein.[4][5]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Arnold Schönhage und Volker Strassen: Schnelle Multiplikation großer Zahlen, Computing 7, 1971, Springer Verlag, S. 281–292
  2. Martin Fürer: Faster integer multiplication (PDF; 295 kB), STOC 2007 Proceedings, S. 57–66.
  3. David Harvey, Joris van der Hoeven, Grégoire Lecerf, "Even faster integer multiplication", 2014, arxiv:1407.3360
  4. http://www.loria.fr/~zimmerma/mca/mca-cup-0.5.9.pdf S. 56
  5. http://www.loria.fr/~gaudry/publis/issac07.pdf

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]