Schatten-Klasse

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Die Schatten-Klassen, benannt nach Robert Schatten, sind spezielle Algebren von Operatoren, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden. Sie haben viele Eigenschaften mit den Folgenräumen gemeinsam.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen (im Endlichdimensionalen bricht die Folge ab) Hilberträumen, so gibt es eine monoton fallende Folge nicht-negativer reeller Zahlen mit und orthonormale Folgen in und in , sodass

  • für alle gilt und
  • die Operatoren für in der Operatornorm gegen konvergieren.

Das ist die sogenannte Schmidt-Darstellung. Die Zahlenfolge ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch bestimmt. Man schreibt daher für das -te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den -ten singulären Wert von . Man kann zeigen, dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten und positiven Operators bilden.

Für ist die p-te Schatten-Klasse kompakter Operatoren von nach durch

definiert. Dabei ist der Folgenraum der zur -ten Potenz summierbaren Folgen. Für definiert man die -Norm des Operators gerade durch diese Norm auf der Folge:

Die -Norm des Operators ist also genau die -Norm der zugehörigen Folge der singulären Werte des Operators.

Für den Fall schreibt man abkürzend . Oftmals nennt man nur diese Räume Schatten-Klassen.

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für entspricht der Raum der Menge der Spurklasseoperatoren.

Für entspricht dem Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Schatten-Klassen haben viele Eigenschaften mit den -Räumen gemeinsam. ist mit der -Norm ein Banachraum. Für gilt und daher . Ferner gilt stets , wobei die Operator-Norm von ist.
  • ist mit der Operator-Multiplikation sogar eine Banachalgebra mit isometrischer Involution, wobei die Involution die Adjunktion ist. Sind und stetige lineare Operatoren auf , so ist und es gilt . Die Schatten-Klassen sind daher zweiseitige Ideale in .
  • Seien mit konjugierte Zahlen. Sind dann und , so ist das Produkt ein Spurklasse-Operator und es gilt . Jedes definiert daher durch ein stetiges lineares Funktional auf . Man kann zeigen, dass die Abbildung ein isometrischer Isomorphismus von auf den Dualraum von ist, oder kurz . Man hat also auch hier ganz ähnliche Verhältnisse wie bei den Folgenräumen. Insbesondere sind die Schatten-Klassen für reflexiv, sie sind sogar gleichmäßig konvex. Wie bei den Folgenräumen ist dies für nicht der Fall. Die Verhältnisse für sind im Artikel Spurklasseoperator näher beschrieben.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • R. Schatten: Norm Ideals of Completely Continuous Operators. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5.
  • Dunford, Schwartz: Linear Operators, Part II, Spectral Theory. ISBN 0-471-60847-5.
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8.