Scheinbare Größe

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit dem geometrischen Begriff der scheinbaren Größe. In der Astronomie bezeichnet man auch die scheinbare Helligkeit oft als scheinbare Größe. Sehwinkel bezeichnet auch allgemein den Winkel zwischen Visierlinie und einer Bezugsrichtung. Sehwinkel ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel, siehe auch Gesichtswinkel.

Die scheinbare Größe (auch scheinbarer Durchmesser, Sehwinkel, astronom. oft Winkelausdehnung) eines Objekts ist der Winkel, unter dem es von einem Beobachter wahrgenommen wird.

Skizze: scheinbare Größe

Nebenstehende Abbildung verdeutlicht den Zusammenhang zwischen scheinbarer Größe α, Entfernung r und wahrer Ausdehnung g eines Objekts. Es lässt sich daraus folgende Beziehung zwischen den drei Größen ableiten:

 \tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{g}{2}}{r} und somit für den Winkel \alpha = 2\,\arctan \left(\frac{g}{2\,r}\right)

In der Geodäsie kann mittels eines Objekts mit genormter Größe, beispielsweise einer senkrecht aufgestellten Latte, aus der scheinbaren Größe die Entfernung berechnet werden:

 r = \frac{g}{2\, \tan\tfrac{\alpha}{2}}
Unterschiede bei den berechneten Ausdehnungen g, g' und g" eines unregelmäßigen Objekts abhängig von den gegebenen Abständen r, r' und r"

In der Astronomie ergibt sich bei bekanntem Abstand eines Objekts dessen ungefähre wahre Ausdehnung quer zur Sichtlinie

 g = 2\,r\,\tan\frac{\alpha}{2}

Für kleine Winkel < 1° gilt die Kleinwinkelnäherung, im Bogenmaß: \textstyle x \approx \tan x \approx \sin x, so dass in Winkelminuten gilt:

\textstyle \alpha \approx \frac{10800 \cdot g}{\pi \cdot r}.

Der Fehler beträgt bei α=1° nur 0,4" (1,7*10−6 rad oder 0,001%) , bei α=6'=0,1° nur noch 0,004" (2*10−9 rad oder 0,0001 %).

Skizze: scheinbare Größe eines sphärischen Objekts

Für ein sphärisches Objekt, dessen Durchmesser g und der Abstand zum Kugelmittelpunkt r ist, gilt die abweichende Formel: \textstyle \alpha = 2\arcsin \left(\frac{g}{2\,r}\right). Der Grund für den Unterschied ist, dass die Tangenten an eine Kugel näher zum Betrachter als der Kugelmittelpunkt liegen. Der Unterschied verschwindet für kleine Winkel.

Vertikaler und horizontaler Sehwinkel[Bearbeiten]

In der Fotografie verwendet man den vertikalen und den horizontalen Sehwinkel eines Gegenstands. Den vertikalen Sehwinkel εv eines Gegenstands definiert man, indem man dem vom Auge fixierten Gegenstand ein waagrecht liegendes Rechteck umschreibt, dann die beiden vom Auge ausgehenden Strahlen zu den Endpunkten der senkrechten Strecke durch den Rechtecksmittelpunkt zieht und den Winkel zwischen diesen Strahlen bestimmt. Analog ist der horizontale Sehwinkel εh der Winkel zwischen den beiden Strahlen vom Auge zu den Endpunkten der waagrechten Strecke durch den Rechtecksmittelpunkt.

Abbildung: Der vertikale und der horizontale Sehwinkel

Wählt man das kartesische Koordinatensystem, dessen Ursprung im Mittelpunkt des Rechtecks liegt, dessen y- und z-Achse die vertikale und horizontale Symmetrieachse des Rechtecks bilden und bei dem sich der Betrachter im Halbraum x > 0 befindet, so lassen sich diese beiden Sehwinkel für das Rechteck mit der vertikalen Seitenlänge Gv = 2γv und der horizontalen Seitenlänge Gh = 2γh für einen beliebigen Beobachterpunkt (x,y,z) trigonometrisch bestimmen:

\epsilon_v = \arctan\frac{\gamma_v-y}{\sqrt{ x^2 + z^2 }} - \arctan\frac{-\gamma_v-y}{\sqrt{ x^2 + z^2 }},
\epsilon_h = \arctan\frac{\gamma_h-z}{\sqrt{ x^2 + y^2 }} - \arctan\frac{-\gamma_h-z}{\sqrt{ x^2 + y^2 }} .

Auf Grund der Rotationssymmetrie des Funktionsgraphen des vertikalen Sehwinkels εv(x,y,z) bei der Drehung um die y- Achse ist (Zylindersymmetrie) kann dessen Untersuchung auf die x,y-Ebene eingeschränkt werden. Für die Sehwinkelfunktionen als Funktionen nur der Ebenenkoordinaten x und y erhält man die folgenden Terme und die in den Abbildungen dargestellten Funktionsgraphen:

 \epsilon_v = \arctan\frac{\gamma_v-y}{x} - \arctan\frac{-\gamma_v-y}x ,
 \epsilon_h = 2\, \arctan\frac{\gamma_h}{\sqrt{ x^2 + y^2 }}
Abbildung: Graph des vertikalen Sehwinkels
Abbildung: Graph des horizontalen Sehwinkels

Maximale Sehwinkel eines Gegenstandes für eine Kamera[Bearbeiten]

Für die vollständige und scharfe Abbildung eines fest vorgegebenen Objekts mittels einer Kamera ist der Kamerastandort auf einen Zulässigkeitsbereich Z eingeschränkt. Dieser Bereich Z wird durch vier Ungleichungen beschrieben, in welche die Kameraparameter eingehen:

1) εv(x,y,z) ≤ αv,

2) εh(x,y,z) ≤ αh,

3) ρ(x,y,z) = \sqrt{ x^2+y^2+z^2 } ≥ d = gmin - f,

4) x > 0,

wobei αv der vertikale Bildwinkel, αh der horizontale Bildwinkel, gmin der minimale Objektabstand und f die fest fixierte Brennweite der Kamera sind.

Abbildung: Bei vollständiger Abbildung des Objekts ist der Sehwinkel des Objekts nicht größer als der Bildwinkel der Kamera

Sucht man in diesem Bereich Z einen Standort, in dem der vertikale Sehwinkel εv bzw. der horizontale Sehwinkel εh des Objekts für die Kamera maximal ist, so liefert dies jeweils ein nichtlineares Optimierungsproblem, dessen Zielfunktion durch den zu maximierenden Sehwinkel und dessen Zulässigkeitsbereich durch Z gegeben ist. Will man dagegen für eine auf einem Kamerakran montierte Kamera einen Standort finden, in dem sowohl der vertikale als auch der horizontale Sehwinkel maximal sind, so führt dies auf die Lösung des Maximierungsproblems, bei dem beide Sehwinkel als Zielfunktionen simultan maximiert werden („multikriterielle Optimierung“).

Beschränkt man sich bei der simultanen Maximierung beider Sehwinkel εv und εh auf die x,y-Ebene, so wird der Rand \partial Z des Zulässigkeitsbereichs Z durch zwei der folgenden drei Kreisbögen gebildet:

Kd  :y = \pm f_d(x)= \pm\sqrt{ d^2-x^2},

Kh  :y = \pm f_h(x) = \pm \sqrt{\eta_h^2-x^2},

Kv  :y = \pm f_v(x) = \pm \sqrt{r_v^2-(x-x_v)^2},

mit ηh = γh/tan(αh/2), wv = tan αv, xv = γv/wv, rv = γv•(1+wv2)1/2, ξv = xv + rv = γv/tan(αv/2), 0 < αh, αv < π.

Abbildung: Der Zulässigkeitsbereich Z und die Standortverbotszone V der Kamera

Für die Bestimmung des Optimalitätsbereichs Os der simultanen Maximierung beider Sehwinkel εv und εh sind die drei Fälle I) 0 < αv < π/2, II) αv = π/2, III) π/2 < αv < π und dazu jeweils noch die Unterfälle zu unterscheiden, wie der Radius R := max{d,ηh} zu den anderen beiden Parametern γv und ξv liegt. Im Fall I) mit γv < ξv sind dies die Unterfälle 1) R ≤ γv, 2) γv < R < ξv und 3) R ≥ ξv. Beispielsweise besteht in dem in der Praxis hauptsächlich auftretenden und in der Abbildung dargestellten Fall I.2) der Optimalitätsbereich Os aus den beiden Schnittpunkten S = (x*,y*) und Ŝ = (x*,-y*) der Kreisbögen KR und Kv.

Beispiele[Bearbeiten]

Scheinbare Größe von Sonne, Mond, Planeten und ISS im Vergleich
Beispiel Bildwinkel in Grad (sortiert nach Maximum) Bogenminuten Größenvergleich (Bild)
Gesamtes Gesichtsfeld des gesunden menschlichen Auges 130°–150°
Von der Erdoberfläche aus gesehen nimmt ein Regenbogen im Maximum einen Halbkreis ein. 84° x 42° Double rainbow, Graz, Austria, 2010-05-30.jpg Regenbogen mit 18mm-Weitwinkelobjektiv.
Die eigene Faust mit ausgestrecktem Daumen am ausgestreckten Arm ca. 10° Estimating angular size with hand.gif Abschätzen von Winkeln mit der Hand: 10°, 20°, 5°, 1°
Andromedagalaxie (fotografisch) ca. 3° 186,2′[1]
Die Breite des eigenen Daumens am ausgestreckten Arm 1,5–2°
Der Bereich scharfen Sehens beim Menschen ca. 1°
Der Durchmesser des Vollmonds oder der Sonnenscheibe von der Erde aus betrachtet. ca. 0,5° ca. 30′ Sun-Moon apparent sizes (min-max quartered).jpg Scheinbare Größe von Sonne und Mond im Vergleich
Der Durchmesser des Landoltrings für einen Visus von 50 % 10′ Landoltring.jpg
Pferdekopfnebel ca. 8'
Kantenlänge des Hubble Ultra Deep Field ca. 3′ Hubble ultra deep field.jpg
Tennisball in 100 m Entfernung ca. 2,5′
Venus in unterer Konjunktion 1,1' Venustransit 2004-06-08 07-49.jpg Venustransit
Jupiter 29,8″-50,1″ (Bogensekunden) Eric Kilby - Moon and Jupiter - Composite 2 (by-sa).jpg
Internationale Raumstation 0.75′ = 45″[2] ISS over Moon from Houston - JSC2012-E-017827.jpg
Zum Vergleich: Auflösungsvermögen des bloßen menschlichen Auges unter idealen Bedingungen 0,5′ bis 1′
Saturn 18,5″ Saturn Occultation.gif Saturn im Vergleich zum Mond bei einer Okkultation
Mars 13,9–24,2″ Blmurch - Mars and the full moon (by).jpg
Merkur 4,5-13,0″ Mercury-in-dusk-1.jpg Merkur bei Sonnenaufgang

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Franz Pleier: Der optimale Standort für einen Fotografen, W-Seminararbeit am Kepler-Gymnasium Weiden/OPf., 2010

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/sim-id?Ident=Messier%2031
  2. http://www.baader-planetarium.de/celestron-imaging-conference/htm-mond/iss-basis.htm