Schiefer Kegel

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Schiefkegel

Die Basis des allgemeinen Schiefkegels ist eine geschlossene Kurve mit der Parameter-Darstellung x(t):= p(t) und y(t):= q(t), wobei p und q im Intervall [c,d] differenzierbar sind (bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen), außerdem: p(c) = p(d) und q(c) = q(d). Der Punkt E = (u,v) liegt in der Kurven-Ebene, die Kegelspitze S steht im Abstand h senkrecht über E, also S = (u,v,h). Der folgende Formalismus gilt auch für nicht geschlossene Kurven, dann spricht man besser von Segeln als von Kegeln (Dreiecks-Segeln, geschwungenen Dreiecken). Um die Formeln übersichtlich zu halten, wird die Ableitung nach t (wie in der Physik üblich) mit einem Punkt versehen.

Mantel des allgemeinen Schiefkegels[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Formel für die Mantelfläche M des allgemeinen Schiefkegels gleicht der des schiefen Ellipsenkegels (abgesehen von den Integrationsgrenzen):

Hier bedeuten

und

Man könnte mit diesem Formalismus auch den Pyramiden-Mantel berechnen (die Pyramide als „Kegel“ mit quadratischer Basis), aber hier führt die Elementar-Geometrie schneller zum Ziel.

Die geometrische Bedeutung von Z und N[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

von Z[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Radizieren einer Funktion f über [c,d] erfordert Sorgfalt, denn die Quadratwurzel aus f² ist mehrdeutig, sogar unendlich vieldeutig. Um das einzusehen, braucht man nur an einer beliebigen Stelle a (die nicht Nullstelle von f ist) den Wert f(a) in -f(a) umzukehren. Geometrisch bedeutsam sind die Wurzeln |f| und f. Wenn in der Formel für den Mantel eines allgemeinen Schiefkegels die Höhe h gegen Null strebt, entsteht der Ausdruck

und insbesondere für die Wurzel |Z(t)|:

geometrisch gesehen ist das die Fläche des „zusammengefalteten“ Kegelmantels in der xy-Ebene (wo die Kegelbasis liegt). Für die Wurzel Z(t) hingegen ergibt sich

weil die bestimmten Integrale über die Ableitungen von uq und vp Null sind. Das folgt aus der Nebenbedingung p(c) = p(d) und q(c) = q(d). Geometrisch gesehen handelt es sich hierbei um die Fläche der Kegelbasis. Durch partielle Integration (und Beachtung von p(c)q(c) = p(d)q(d)) gewinnt man die Gleichung:

Der rechte Ausdruck besticht durch seine Kürze, ist aber unpraktisch, weil sich der scheinbar komplizierte linke Ausdruck besser auswerten lässt. Die Fläche zwischen den Tangenten von E an die Kegelbasis (die Basis selbst nicht mitgerechnet), also die Fläche des Tangenten-Zipfels, ergibt sich aus

Der Faktor ¼ (statt ½) besagt, dass die Fläche des Tangentenzipfels nur einmal gezählt wird (statt doppelt wie beim zusammengefalteten Kegelmantel, bei dem die E zugewandte und die E abgewandte Mantelfläche übereinander liegen). Wenn E auf dem Rand oder innerhalb der Kegelbasis liegt, verschwindet M. Dann nämlich fallen Basis und zusammengefalteter Mantel in eins.

von N[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ndt ist das Integrationselement des Umfangs der Kegelbasis (siehe Grafik). Der Umfang der Kegelbasis ergibt sich daher zu

Wenn man nur N(t) als Integranden wählt (statt |N(t)|), kann es vorkommen, dass das Integral verschwindet. Beispiel: Die Astroide (Sternkurve) hat die Parameterdarstellung p(t) = a cos(t)³, q(t) = a sin(t)³ über [0,]. Dann ist N(t)² = 9a² sin(t)² cos(t)². Für N(t) = 3a sin(t) cos(t) verschwindet das Integral über [0,]. Für |N(t)| jedoch ergibt sich

von Z/N[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Quotient misst den Abstand des Höhenfußpunktes E = (u,v) von der Kurven-Tangente an (p,q) in Abhängigkeit von t (siehe Grafik). Die allgemeine Gleichung der Tangente an (p,q) lautet

Division durch N führt zur Hesseschen Normalform. Den Abstand des Punktes E = (u,v) von der Tangente gewinnt man dadurch, dass man u und v in die Normalform einsetzt (ohne die Null): das Ergebnis ist Z/N. Beispiel: Die Funktionen p(t) = r cos(t) + m und q(t) = r sin(t) + n über [0,] beschreiben den Kreis r um (m,n). Dann ist Z(t)/N(t) = r + (m-u) cos(t) + (n-v) sin(t). Wenn E in das Zentrum des Kreises rückt, wenn also u = m und v = n, resultiert Z(t)/N(t) = r, d. h. die Lote von E auf die Kreistangenten sind die Radiusvektoren der Länge r.

Beispiel: Schiefer Kreiskegel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Parameterdarstellung des Kreises lautet: über .

Wenn man diese Werte und ihre Ableitungen in die Formel für den Mantel des allgemeinen Schiefkegels einsetzt, erhält man den Ausdruck

Mit einem geeigneten (festen) Winkel lassen sich und darstellen als und , wobei , daher gilt nach dem Additionstheorem: , so dass

Bei der Integration über den Vollkreis spielt die Wahl von keine Rolle. Man darf deshalb setzen. Der Integrand ist für eine bezüglich symmetrische Funktion, so dass man nur über den Halbkreis zu integrieren braucht und das Resultat verdoppeln muss, also:

.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]