Schnittgerade

Schnittgerade (rot) zweier Ebenen (grün und blau)

Eine Schnittgerade ist ein Begriff der Geometrie. Zwei Ebenen im dreidimensionalen euklidischen Raum, die nicht parallel zueinander sind, schneiden sich immer; die Schnittmenge ist dabei eine Gerade, die als Schnittgerade bezeichnet wird.

In der analytischen Geometrie werden Schnittgeraden – wie alle Raumgeraden – mithilfe von Gleichungen beschrieben, vorzugsweise durch Parametergleichungen. Eine typische Aufgabe ist, eine Parametergleichung der Schnittgeraden zu bestimmen, wenn die Gleichungen der sich schneidenden Ebenen gegeben sind.

Ist eine der sich schneidenden Ebenen eine Koordinatenebene, so nennt man die Schnittgerade Spurgerade. Besitzen mehrere Ebenen eine gemeinsame Schnittgerade, so handelt es sich um ein Ebenenbüschel. Diese Schnittgerade heißt Trägergerade oder Achse des Ebenenbüschels.

Allgemeines

Zwischen zwei Ebenen im Raum können folgende Lagebeziehungen bestehen:

• Die beiden Ebenen sind parallel zueinander, aber nicht gleich („echt parallel“);
• Die beiden Ebenen sind gleich;
• Die beiden Ebenen sind nicht parallel zueinander und schneiden sich in einer Geraden, der Schnittgeraden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, um die Parametergleichung der Schnittgeraden zu berechnen. Eine geeignete Wahl hängt unter anderem davon ab, in welcher Form (Normalenform, Parameterform) die sich schneidenden Ebenen jeweils beschrieben sind. Insgesamt lassen sich drei Fälle unterscheiden: Es können beide Ebenen als Normalenform oder als Parameterform vorliegen, oder eine Ebene liegt in Normalenform und die andere in Parameterform vor. Für jeden Fall gibt es Verfahren, die direkt an den Gleichungen der vorliegenden Ebenen ansetzen. Alternativ kann man zunächst eine oder beide Ebenengleichungen in eine andere Form umwandeln und dann eines der Verfahren für diesen Fall anwenden.

Alle Verfahren laufen darauf hinaus, eine lineare Gleichung oder ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Ist die entsprechende Gleichung bzw. das lineare Gleichungssystem lösbar und hat eine einparametrige Lösungsmenge, so sind die gegebenen Ebenen nicht parallel zueinander und haben eine Schnittgerade. Ist sie zweiparametrig, so sind die beiden Ebenen gleich. Gibt es keine Lösung, so sind die Ebenen echt parallel zueinander.

Schnitt einer Ebene in Normalenform mit einer Ebene in Parameterform

Gegeben seien eine Ebene in Normalenform,

$E_{1}\colon \ {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}=d$,

und eine Ebene in Parameterform,

$E_{2}\colon \ {\vec {x}}={\vec {p}}+r{\vec {u}}+s{\vec {v}}$.

Zur Bestimmung der Schnittgerade setzt man zunächst die Parametergleichung für $E_{2}$ in die Normalengleichung für $E_{1}$ ein und wendet das Distributivgesetz und Assoziativgesetz für Skalarprodukte an. Das liefert die Gleichung

${\vec {n}}\cdot {\vec {p}}+r\,{\vec {n}}\cdot {\vec {u}}+s\,{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=d$.

Sind die Ebenen nicht parallel, so ist ${\vec {n}}\cdot {\vec {u}}\neq 0$ oder ${\vec {n}}\cdot {\vec {v}}\neq 0$ und diese Gleichung lässt sich nach $r$ oder nach $s$ auflösen. Mit der dadurch erhaltenen Gleichung lässt sich ein Parameter in der Gleichung für $E_{2}$ eliminieren, wodurch man zu einer Parametergleichung für die Schnittgerade gelangt.

Beispiel

Die beiden Ebenen seien gegeben durch

$E_{1}\colon \ {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\vec {x}}=1$

und

$E_{2}\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}$.

Einsetzen der Parametergleichung in die Normalengleichung liefert

${\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot \left[{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}\right]=1$.

Diese Gleichung liest sich nach Anwendung der Rechengesetze für das Skalarprodukt als

${\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}=1$.

Ausrechnen der Skalarprodukte und Umstellen liefert $s=-3-r$. Die Lösungsmenge der Gleichung ist einparametrig, folglich haben $E_{1}$ und $E_{2}$ eine Schnittgerade. Um diese zu bestimmen, ersetzt man $s=-3-r$ in der Parametergleichung für $E_{2}$:

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}}+(-3-r){\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}$.

Nach Anwendung der Rechenregeln für Vektoren erhält man hieraus schließlich eine Parameterdarstellung für die Schnittgerade:

$g\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}-5\\-2\\10\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix}}$.

Schnitt zweier Ebenen in Parameterform

Gegeben seien zwei Ebenen

$E_{1}\colon \ {\vec {x}}={\vec {p}}_{1}+r{\vec {u}}_{1}+s{\vec {v}}_{1}\quad$und $\quad E_{2}\colon \ {\vec {x}}={\vec {p}}_{2}+r{\vec {u}}_{2}+s{\vec {v}}_{2}$.

Gleichsetzen der beiden Parametergleichungen liefert die Vektorgleichung

${\vec {p}}_{1}+r_{1}{\vec {u}}_{1}+s_{1}{\vec {v}}_{1}={\vec {p}}_{2}+r_{2}{\vec {u}}_{2}+s_{2}{\vec {v}}_{2},$

die sich in ein lineares 3×4 Gleichungssystem in den Unbekannten $r_{1},r_{2},s_{1},s_{2}$ übersetzen lässt. Dieses Gleichungssystem lässt sich auf eine Gleichung in zwei Variablen zurückführen, die sich, sofern $E_{1}$ und $E_{2}$ nicht parallel zueinander sind, nach einer Variablen auflösen lässt. Damit kann man beispielsweise den Parameter $r_{2}$ in Abhängigkeit von $s_{2}$ ausdrücken und in der Ebenengleichung für $E_{2}$ ersetzen. Nach elementaren Vektorumformungen gelangt man dann zu einer Parametergleichung der Schnittgeraden.

Beispiel

Die beiden Ebenen seien gegeben durch

$E_{1}\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}+r_{1}{\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}+s_{1}{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}\quad$ und $\quad E_{2}\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$.

Durch Gleichsetzen und Umformen erhält man das Gleichungssystem

${\begin{matrix}&2r_{1}&-&2r_{2}&-&s_{1}&-&s_{2}&=&0\\&r_{1}&-&2r_{2}&+&s_{1}&&&=&2\\&-r_{1}&+&r_{2}&&&&-s_{2}&=&0\end{matrix}}$

Es hat eine einparametrige Lösungsschar. Wählt man z. B. $s_{2}=t$ als freien Parameter, so ist $r_{2}=-2-4t$. Einsetzen in die Parametergleichung für $E_{2}$ ergibt

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+(-2-4t){\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$.

Nach Anwendung der Rechenregeln für Vektoren erhält man hieraus für die Schnittgerade die Parameterdarstellung

$g\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}-3\\-3\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-7\\-8\\5\end{pmatrix}}$.

Schnitt zweier Ebenen in Normalenform

Gegeben seien zwei Ebenen

$E_{1}\colon \ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {x}}=d_{1}\quad$ und $\quad E_{2}\colon \ {\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {x}}=d_{2}$.

$E_{1}$ und $E_{2}$ sind nicht parallel zueinander, wenn die beiden Normalenvektoren ${\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2}$ in verschiedene Richtungen zeigen, also keine Vielfachen voneinander sind.

Methode 1

Die beiden Normalengleichungen liefern ein lineares 2×3 Gleichungssystem mit den Koordinaten $x,y,z$ als Unbekannten. Um dieses unterbestimmte Gleichungssystem zu lösen, wird es zunächst auf Zeilenstufenform gebracht und eine der Unbekannten der untersten Zeile als Parameter gesetzt; die anderen beiden Koordinaten lassen sich dann in Abhängigkeit dieses Parameters ausdrücken. Wendet man auf den Lösungsvektor, dessen Komponenten nun alle in Abhängigkeit des Parameters ausgedrückt sind, elementare Rechengesetzt für Vektoren an, so gelangt man zu einer Parametergleichung der Schnittgeraden.

Beispiel

Die beiden Ebenen seien gegeben durch

$E_{1}\colon \ {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\vec {x}}=1\quad$und $\quad E_{2}\colon \ {\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}}\cdot {\vec {x}}=2$.

Die Normalenvektoren $(1,2,1)^{T}$ und $(2,-3,2)^{T}$ sind keine Vielfachen voneinander, also sind $E_{1}$ und $E_{2}$ nicht parallel zueinander und haben eine Schnittgerade. Deren Punkte ${\vec {x}}=(x,y,z)^{T}$ erfüllen das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}&x&+&2y&+&z&=&1\\&2x&-&3y&+&2z&=&2\end{matrix}}$

2-mal die erste Gleichung minus 1-mal die zweite Gleichung ergibt das Gleichungssystem in Zeilenstufenform:

${\begin{matrix}&x&+&2y&+&z&=&1\\&&&7y&&&=&0\end{matrix}}$

Die Unbekannte $z$ kann frei gewählt werden: $z=t$. Nachdem $y=0$ ist, liefert ein Einsetzen in die erste Gleichung $x=1-t$. Also lassen sich alle Lösungsvektoren schreiben als ${\vec {x}}=(1-t,0,t)^{T}$, woraus man schließlich für die Schnittgerade die Parameterdarstellung erhält:

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}$.

Methode 2

Da die Schnittgerade in beiden Ebenen liegt, stehen die beiden Normalenvektoren ${\vec {n}}_{1}$ und ${\vec {n}}_{2}$ senkrecht auf dem Richtungsvektor der Schnittgeraden. Als Richtungsvektor ${\vec {u}}$ der Schnittgeraden kann somit das Kreuzprodukt der Normalenvektoren genutzt werden: ${\vec {u}}={\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}$. Für den Stützvektor ${\vec {p}}$ betrachtet man den Schnittpunkt der Ebenen $E_{1}$, $E_{2}$ und

$E_{3}\colon \ {\vec {x}}=r{\vec {n}}_{1}+s{\vec {n}}_{2}$.

Er liegt in allen drei Ebenen und somit auch auf der Schnittgeraden von $E_{1}$ und $E_{2}$. Somit lässt sich sein Ortsvektor ${\vec {p}}$ als Stützvektor verwenden. Da ${\vec {p}}$ insbesondere in $E_{3}$ liegt, lässt er sich schreiben als ${\vec {p}}=r_{0}{\vec {n}}_{1}+s_{0}{\vec {n}}_{2}$. Um die Parameter $r_{0}$ und $s_{0}$ zu finden, setzt man die Gleichung für $E_{3}$ in die Gleichungen für $E_{1}$ und $E_{2}$ ein und wendet das Distributivgesetz und Assoziativgesetz für Skalarprodukte an. Das führt auf das lineare 2×2 Gleichungssystem

${\begin{matrix}&r\ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1}&+&s\ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2}&=&d_{1}\\&r\ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2}&+&s\ {\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2}&=&d_{2}\end{matrix}}$

in den Unbekannten $r$ und $s$. Auflösen und Einsetzen der eindeutigen Lösung $(r_{0},s_{0})$ in die Gleichung für ${\vec {p}}$ liefert den Stützvektor. Schließlich werden noch der Richtungsvektor und der Stützvektor zur Parametergleichung verbunden.

Beispiel

Für die Ebenen aus dem letzten Beispiel erhält man den Richtungsvektor der Schnittgerade als

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\0\\-7\end{pmatrix}}$.

Für den Stützvektor ${\vec {p}}$ erhält man mit ${\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1}=6,\ {\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2}=17,\ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2}=-2$ das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}&6r&+&-2s&=&1\\&-2r&+&17s&=&2\end{matrix}}$

Es hat die eindeutige Lösung $r_{0}=3/14,\ s_{0}=2/14$. Damit erhält man den Stützvektor

${\vec {p}}={\frac {3}{14}}{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}+{\frac {2}{14}}{\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2\\0\\1/2\end{pmatrix}}$.

Also ist

$g\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1/2\\0\\1/2\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}7\\0\\-7\end{pmatrix}}$

eine (etwas andere) Parameterdarstellung der Schnittgerade beider Ebenen.

Siehe auch

• Schnittkurve
• Schnittpunkt
• Schnittwinkel (Geometrie)
• Lagebeziehung

Literatur

• Michael Jung: Ebene Trigonometrie & Analytische Geometrie. Springer Spektrum, Wiesbaden 2024, ISBN 978-3-658-03261-6, S. 594–611.
• Schülerduden Die Mathematik II (11.–13. Schuljahr). 3. Auflage. Dudenverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1991, ISBN 3-411-04273-7, S. 89–90.
• Gerhard Merziger, Thomas Wirth: Repetitorium höhere Mathematik. 6. Auflage. Binomi-Verl, Barsinghausen 2010, ISBN 978-3-923923-34-2, S. 154–155.
• Lehr- und Übungsbuch Mathematik Band III. 15. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun 1978, ISBN 978-3-87144-041-0, S. 188–189.
• Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra. 4. Auflage. Springer Spektrum, 2023, ISBN 978-3-662-68366-8, S. 533–534.