Schnittreaktion

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Die Schnittreaktionen (auch Schnittgrößen oder Schnittkräfte) in der Statik zeigen das Wirken von Kräften und Drehmomenten innerhalb eines Bauteiles. Das sind die Kräfte und Momente, die das Bauteil den äußeren Einwirkungen gegenüber entgegenbringen muss, um nicht zu versagen (z. B. zu brechen oder zu bersten), außer es kann die Schnittgrößen plastisch umlagern (statische Bestimmtheit). Daher ist der Begriff „innere Kraftgrößen“ anschaulicher. Schnittreaktionen oder Schnittgrößen sind im Zuge einer Stabstatik die Kraftgrößen (Kräfte und/oder Momente), die erst bei einem sogenannten „Schnitt“ in der Berechnung aufscheinen.

Schnittprinzip[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann (z. B. zur Vereinfachung einer Berechnung) jedes Bauteil mit den dazugehörigen Belastungen gedanklich an jeder beliebigen Stelle „schneiden“, d. h. man muss es an dieser Stelle trennen und den Rest des Bauteils nicht mehr beachten. Da aber der weggeschnittene Rest von dem Bauteil physikalisch nicht einfach verschwinden kann, wird seine Wirkung auf das verbliebene Stück im Zuge einer Stabstatik durch die Schnittkräfte repräsentiert.

Man kann ein beliebiges Teilsystem betrachten. In der Statik (Mechanik) muss für ein globales Gleichgewicht, jedes Teilsystem in einem „lokalen“ Gleichgewicht sein. Im Zuge einer Stabstatik, schneidet man im Zuge der üblichen Schnittkraftkonvention die jeweiligen Stäbe, jeweils im rechten Winkel. Es ist Zielführend, aber nicht notwendig, dass alle Schnittlinien, an denen man entlang schneidet, in sich geschlossen sind. An allen durch die Schnitte entstandenen Schnittufern entstehen im zweidimensionalen Fall die 3 Schnittkräfte. Man darf jedes Bauteil überall schneiden, solange alle Belastungen (innere und äußere Kräftgrößen, Zwängungen, Temperatureinwirkungen, Auflagerbedingungen, …) eingetragen sind.

Wenn man einen Stab teilt entstehen 2 Schnittufer. Als positives Schnittufer wird im Zuge einer Stabstatik jenes Stabteilende bezeichnet, bei dem die positive x-Richtung vom jeweiligen Stabteil wegzeigt. Beim negativen Schnittufer zeigt die x-Richtung in Richtung des Stabes. Die Bezeichnung folgt daher, dass alle Schnittkräfte in positive Richtung zeigen. Für den zweidimensionalen Fall gilt am positiven Schnittufer: Die Normalkraft zeigt in (positive) x-Richtung, die Querkraft zeigt in (positive) z-Richtung, und das Moment zeigt in (positive) y-Richtung. Da die y-Richtung bei der üblichen Stabachsenkoordinatenkonvention aus der Ebene herausgeht, ist die positive Drehrichtung im Gegenuhrzeigersinn. Die Bezugsfaser (auch gestrichelte - oder Definitionsfaser) wurde so definiert, dass sie bei der üblichen Konvention sowohl an der positiven z-Richtung liegt, als auch, dass die Fasern auf der Seite der Bezugsfaser bei positiven Moment eine positive Spannung (Zugspannung) bekommen.

Die Schnittkräfte in der Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein gerader Stab, von zwei Seiten geschnitten. Alle hier durch Pfeile dargestellten Kräfte bzw. Momente sind nach üblicher Vorzeichenkonvention positiv angetragen. Die Bezugsfaser wird als gestrichelte Linie dargestellt.

Schnittreaktionen werden im zweidimensionalen Fall in 3 Komponenten unterteilt. Die Lage des lokalen Stabachsenkoordinatensystems wird am statischen System durch die gestrichelte Faser skizziert. Sie legt die Richtung, als auch den Ursprung der x-,y- und z-Achse sowie die Lage der y- und z-Achse fest. Im Zuge der üblichen Konvention gilt: Die z-Achse zeigt definitionsgemäß zur gestrichelten Seite hin.[1] Die Lage der x-Achse ist die Stabachse. Die y-Achse zeigt aus er Ebene heraus, damit ergibt sich die Richtung der x-Achse im Zuge eines kartesischen Rechtskoordinatensystems automatisch. Die x-Achse wird an jenes Stabende gelegt, sodass der Stab – nicht-negative – x-Koordinaten hat.

  • Querkraft (V) – Eine Kraft senkrecht zur x-Achse des Bauteils.
  • Normalkraft (N) – Eine Kraft parallel zur x-Achse des Bauteils.
  • Moment (M) – Das an der Schnittstelle wirkende Drehmoment.

Alle Schnittkräfte sind Vektorgrößen. Das heißt jede Kraft hat eine Richtung und jedes Moment dreht entweder im oder gegen den Uhrzeigersinn. Daher gibt es eine Positivdefinition der Richtungen.

Beim Schneiden durch ideale (reibungsfreie) Vollgelenke gilt folgendes:

  1. Das Moment ist an einem Momentengelenk immer gleich der dort eingeprägten Größe, somit üblicherweise Null.
  2. An einem Querkraftgelenk ist die Querkraft der jeweiligen Quergelenkskraftrichtung immer gleich der dort eingeprägten Größe.
  3. An einem Normalkraftgelenk ist die Normalkraft immer gleich der dort eingeprägten Normalkraft.

Eingeprägte Schnittgrößen sind häufig gleich null, jedoch bezeichnet man ein Gelenk, dann als Gelenk, wenn von vorneherein, ohne weitere Rechnung, die Kraft dort bekannt ist, zum Beispiel bei einem Träger auf zwei Stützen, bei dem an beiden Enden ein Moment wirkt, nennt man das Moment eingeprägte Große, ebenso tritt bei Fließgelenken jene eingeprägte Größe auf, welche der plastischen Tragfähigkeit entspricht. Wenn man von Gelenken spricht, meint man oft nicht den Sammelbegriff, sondern ein Momentenvollgelenk mit einem eingeprägten Moment gleich Null, da das oftmals das häufigste (bzw. einzige bekannte) Gelenk ist.

Zustandslinien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verschiebt man die gedachte Schnittstelle entlang des Bauteiles, so erhält man eine Funktion der Schnittreaktionen über den gesamten Verschiebeweg. Mit Hilfe der Infinitesimalrechnung lassen sich dann die Stellen der stärksten inneren Belastung eines Bauteiles durch eine feststehende äußere Last berechnen. Da sie den inneren Zustand des Bauteiles unter der Belastung beschreiben, nennt man diese Funktionen auch Zustandslinien. Dieser Berechnung sind Normal- und Schubkräfte, Biege- und Torsionsmomente zugänglich.

Einflusslinien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion der Einflusslinien für Biegemoment (m) und Querkraft (q) an der Stelle C des Einfeldträger unter einer Einzellast P.

Schnittreaktionen werden auch für mehrere Lastfälle benötigt. Dies ist vor allem im Brückenbau, da diese Bauwerke viele Lastfälle haben, zufolge mehrerer sich gegenseitig ausschließender veränderlicher Lasten und vielen Lastfeldern. Die Bestimmung der Schnittreaktionen läuft genauso wie oben beschrieben ab, die entstehenden Funktionen heißen wegen des Einflusses des Lastangriffes auch Einflusslinien. Die Auswertung der Einflusslinie bedeutet, dass die tatsächliche Schnittgroße der zu untersuchten Stelle ermittelt wird, in dem man die Ordinaten der Einflusslinie an der Angriffsstelle der Kraftgrößen mit dem jeweiligen Betrag der Kraft selbst multipliziert und anschließend superponiert.

Berechnen der Schnittreaktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um Schnittreaktionen zu berechnen, gibt es mehrere Möglichkeiten. Bei allen müssen die Gleichgewichtsbedingungen eingehalten werden. Generell unterscheidet man:

geschlossenes Krafteck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann das Krafteck rechnerisch oder graphisch lösen.

Die Gleichgewichtsbedingungen liefern im Allgemeinen nur bei statisch bestimmten Systemen eindeutige Ergebnisse. Bei statisch unbestimmten Systemen gibt es im Allgemeinen zu viele Unbekannte, um sie ohne zusätzliche Gleichungen anzuwenden. In diesem Fall führen z. B. Kraft- oder Weggrößenverfahren zur Lösung. Die Schnittreaktionen (an statisch bestimmten Systemen) rechnet man normalerweise mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen aus. Die Gleichgewichtsbedingungen für statische Systeme besagen, dass

  1. die Summe aller Kräfte gleich null ist und
  2. die Summe aller Momente (um einen beliebigen Punkt) gleich null ist.

Mit diesen Gleichgewichtsbedingungen werden Gleichungen erstellt, die es ermöglichen, die fehlenden Kräfte oder Momente auszurechnen. Durch eine intelligente Wahl der Schnitte (z.B. so, dass jeweils nur eine unbekannte Größe in einer Gleichung auftaucht) lässt sich oft der Rechenaufwand verringern, jedoch ist dies nicht immer möglich.

Die genauen Gleichungen sind im Folgenden aufgeführt.

Ebener Fall (2D)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier kann man 3 linear unabhängige Momenten-Gleichgewichtsbedingungen definieren, am einfachsten ist es im Allgemeinen zwei Punkte davon im Unendlichen zu definieren und somit erhält man zwei Kraftkomponenten-Gleichgewichtsbedingungen und eine Momenten-Gleichgewichtsbedingung:

Anmerkung: Der Index „A“ in der Momentegleichung deutet darauf, dass man hier die Summe der Momente um einen fiktiven Drehpunkt „A“ betrachtet.

Allgemeiner Fall (3D)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier ergeben sich z. B. drei Kraftkomponenten-Gleichgewichtsbedingungen und drei Momentenkomponenten-Gleichgewichtsbedingungen:

Die Punkte „A1“, „A2“, „A3“ dürfen nicht nur identisch sein, sondern liefern auch neue linear unabhängige Gleichungen, da sie die Drehmomente um eine andere Achse betrachten.

Schnittgrößendifferentialgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit diesem Ansatz werden Differentialgleichungen, die die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen, für die gesuchten Schnittgrößen aufgestellt und dann mit zum System passenden Randbedingungen (beispielsweise: Keine Momentübertragung an einem Lager an Position x=0) gelöst.

Literatur und Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Karl-Eugen Kurrer: Einflusslinien. In: Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht. 2., stark erweiterte Auflage. Ernst & Sohn, Berlin 2016, ISBN 978-3-433-03134-6, S. 97–102.
  • Schnittkraftmeister

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. Wall: Technische Mechanik 1: Statik, Band 1. Springer Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-13805-8, S. 171 ff.