Schnittreaktion

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Die Schnittreaktionen (auch Schnittgrößen oder Schnittkräfte) in der Statik zeigen das Wirken von Kräften und Drehmomenten innerhalb eines Bauteiles. Das sind die Kräfte und Momente, die das Bauteil den äußeren Einwirkungen gegenüber entgegenbringen muss, um nicht zu versagen (z.B. zu brechen oder zu bersten). Daher ist der Begriff "innere Kraftgrößen" anschaulicher. Schnittreaktionen oder Schnittgrößen sind die Kräfte, die erst bei einem sogenannten "Schnitt" sichtbar werden.

Schnittprinzip[Bearbeiten]

Man kann (zur Vereinfachung einer Berechnung z.B.) jedes Bauteil mit allen Belastungen gedanklich an jeder beliebigen Stelle "schneiden" d.h. man muss es an dieser Stelle trennen und den Rest des Bauteils nicht mehr beachten. Da aber der weggeschnittene Rest von dem Bauteil physikalisch nicht einfach verschwinden kann, wird seine Wirkung auf das verbliebene Stück durch die Schnittkräfte repräsentiert.

Man darf auch nicht willkürlich schneiden, sondern jeder Schnitt muss ein sogenannter "Rundschnitt" sein. Rundschnitt heißt, dass die Schnittlinie, an der man entlang schneidet, in sich geschlossen (rund) sein muss. An jeder durch den Schnitt entstandenen Kante entstehen die 3 Schnittkräfte. Man darf jedes Bauteil überall schneiden, solange es ein Rundschnitt ist und alle Kräfte (Schnittkräfte und äußere Belastungen) angetragen sind.

Die Schnittkräfte in der Ebene[Bearbeiten]

Ein gerader Stab, von zwei Seiten geschnitten. Alle hier durch Pfeile dargestellten Kräfte bzw. Momente sind positiv angetragen. Die gestrichelte Faser ist hier als gestrichelte Linie dargestellt.

Schnittreaktionen werden im zweidimensionalen Fall in 3 Komponenten unterteilt. Die Lage des Bezugskoordinatensystems wird am statischen System durch die gestrichelte Faser skizziert. Sie legt die Lage der x-Achse fest. Die z-Achse zeigt dann immer zur gestrichelten Seite hin.[1]

  • Querkraft (V, früher Q) – Eine Kraft senkrecht zur gestrichelten Faser des Bauteils.
  • Normalkraft (N) – Eine Kraft parallel zur gestrichelten Faser des Bauteils.
  • Moment (M) – Das an der Schnittstelle wirkende Drehmoment.

Alle Schnittkräfte sind Vektorgrößen. D.h. jede Kraft hat eine Richtung und jedes Moment dreht entweder in oder gegen den Uhrzeigersinn. Daher gibt es eine Positivdefinition der Richtungen.

Beim Schneiden durch Gelenke gilt folgendes:

  1. Das Moment ist an einem Momentengelenk immer null.
  2. An einem Querkraftgelenk ist die Querkraft immer null.
  3. An einem Normalkraftgelenk ist die Normalkraft immer null.

Zustandslinien[Bearbeiten]

Verschiebt man die gedachte Schnittstelle entlang des Bauteiles, so erhält man eine Funktion der Schnittreaktionen über den gesamten Verschiebeweg. Mit Hilfe der Infinitesimalrechnung lassen sich dann die Stellen der stärksten inneren Belastung eines Bauteiles durch eine feststehende äußere Last berechnen. Da sie den inneren Zustand des Bauteiles unter der Belastung beschreiben, nennt man diese Funktionen auch Zustandslinien. Dieser Berechnung sind Normal- und Schubkräfte, Biege- und Torsionsmomente zugänglich.

Einflusslinien[Bearbeiten]

Konstruktion der Einflusslinien für Biegemoment (m) und Querkraft (q) an der Stelle C des Einfeldträger unter einer Einzellast P.

Schnittreaktionen werden auch für den Fall benötigt, dass sich die Belastung des Bauteiles verändert. Dies ist vor allem im Brückenbau notwendig, da diese Bauwerke durch bewegliche Lasten beansprucht werden. Die Bestimmung der Schnittreaktionen läuft genauso wie oben beschrieben ab, die entstehenden Funktionen heißen wegen des Einflusses der beweglichen Lasten auch Einflusslinien. Die Auswertung der Einflusslinie bedeutet, dass die tatsächliche Belastung der untersuchten Stelle ermittelt wird, in dem man die Ordinate der Einflusslinie an der Angriffsstelle der zugehörigen Kraft mit dem Betrag der Kraft selbst multipliziert.

Berechnen der Schnittreaktionen[Bearbeiten]

Um Schnittreaktionen zu berechnen, gibt es eine Vielzahl an Möglichkeiten. Je nachdem welches System man vorliegen hat. Generell unterscheidet man:

Gleichgewichtsprinzip[Bearbeiten]

Das Verfahren liefert nur bei statisch bestimmten Systemen eindeutige Ergebnisse. Bei statisch unbestimmten Systemen gibt es viel zu viele Unbekannte, um das Gleichgewichtsprinzip anzuwenden. In diesem Fall führen Kraft oder Weggrößenverfahren zur Lösung. Die Schnittreaktionen (an statisch bestimmten Systemen) rechnet man normalerweise mithilfe des Gleichgewichtsprinzips aus. Das Gleichgewichtsprinzip besagt, dass:

  1. die Summe aller Kräfte in X-Richtung (an einem System oder an jedem Rundschnitt dieses Systems) gleich null sein muss;
  2. die Summe aller Kräfte in Y-Richtung (an einem System oder an jedem Rundschnitt dieses Systems) gleich null sein muss;
  3. die Summe aller Kräfte in Z-Richtung (an einem System oder an jedem Rundschnitt dieses Systems) gleich null sein muss;
  4. die Summe aller Momente (an einem System oder an jedem Rundschnitt dieses Systems) gleich null sein muss.

Mit diesen Randbedingungen werden Gleichungen (mit einer Unbekannten) erstellt, die es ermöglichen die fehlenden Kräfte oder Momente einzeln nacheinender auszurechnen. Dazu macht man an dem zu untersuchenden System mehrere Schnitte, in denen nur die jeweils eine zu suchende Kraftgröße als einzige unbekannt ist.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. Wall: Technische Mechanik 1: Statik, Band 1. Springer Verlag, Berlin 2011, ISBN 9783642138058, S. 171 ff.