Schwarzsches Lemma

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Dieser Artikel ist über ein Lemma der komplexen Analysis. Es sollte nicht mit dem Satz von Schwarz verwechselt werden.

Das schwarzsche Lemma (nach Hermann Amandus Schwarz) ist ein Satz der Funktionentheorie über holomorphe Selbstabbildungen der Einheitskreisscheibe, welche den Nullpunkt festlassen.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es bezeichne die offene Einheitskreisscheibe. Sei eine holomorphe Funktion mit . Dann gilt für alle und . Falls in einem Punkt zusätzlich die Gleichheit besteht oder gilt, so ist eine Drehung, d. h. für ein geeignetes .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die Taylorentwicklung von um den Punkt . Wegen ist , so dass die Funktion

auf holomorph ist und die Taylorentwicklung um den Nullpunkt hat. Nach dem Maximumprinzip nimmt die Funktion auf dem Kreis , , ihr Maximum auf dem Rand an. Dort gilt aber:

so dass |g(z)| auf ganz durch beschränkt ist. Da beliebig ist, so folgt durch Grenzübergang schon und somit für alle . Weiterhin ist .

Falls zusätzlich ein mit existiert oder gilt, dann gibt es ein mit . Mit dem Maximumprinzip folgt, dass konstant ist, also für ein mit . Es gilt also .

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bestimmung der holomorphen Automorphismengruppe der Einheitskreisscheibe: .
Hieraus kann man die Automorphismengruppe der oberen Halbebene bestimmen und erhält .
  • Das schwarzsche Lemma ist eines der Hilfsmittel, die beim modernen, mit Hilfe normaler Familien geführten Beweis des riemannschen Abbildungssatzes verwendet werden.
  • Lemma von Schwarz-Pick: Für holomorphe Funktionen gilt für alle .

Verschärfung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das schwarzsche Lemma besagt unter anderem, dass für eine holomorphe Funktion mit in der Potenzreihenentwicklung die Bedingung gilt. Ludwig Bieberbach zeigte, dass für injektive Funktionen auch gilt, und stellte die später nach ihm benannte bieberbachsche Vermutung auf, dass . Diese Vermutung wurde 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg Verlag, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6