Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus

Sekans hyperbolicus (blau) und Kosekans hyperbolicus (rot)

Die Funktionen Kosekans hyperbolicus (csch) und Sekans hyperbolicus (sech) sind Hyperbelfunktionen. Sie ergeben sich als Kehrwert von Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus.

Definitionen

${\begin{aligned}\operatorname {sech} \ x&={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {1}{\cosh x}}\\\operatorname {csch} \ x&={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {1}{\sinh x}}\end{aligned}}$

Eigenschaften

	Sekans hyperbolicus	Kosekans hyperbolicus
Definitionsbereich	$-\infty <x<+\infty$	$-\infty <x<+\infty \,;\,x\neq 0$
Wertebereich	$0<f(x)\leq 1$	$-\infty <f(x)<+\infty \,;\,f(x)\neq 0$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	$x<0$ streng monoton steigend $x>0$ streng monoton fallend	$x>0$ streng monoton fallend $x<0$ streng monoton fallend
Symmetrien	Spiegelsymmetrie zur y-Achse	Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung Achsensymmetrie zu $y=-x$
Asymptote	$f(x)\to 0$ für $x\to \pm \infty$	$f(x)\to 0$ für $x\to \pm \infty$
Nullstellen	keine	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	$x=0$
Extrema	Maximum bei $x=0$	keine
Wendepunkte	$x=\pm \ln {(1+{\sqrt {2}})}$	keine

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktion sind die entsprechenden Areafunktionen:

${\begin{aligned}x&=\operatorname {arsech} \ y\\x&=\operatorname {arcsch} \ y\end{aligned}}$

Ableitungen

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sech} \ x&=-\operatorname {sech} \ x\cdot \operatorname {tanh} \ x=-{\frac {\sinh x}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {csch} \ x&=-\operatorname {csch} \ x\cdot \operatorname {coth} \ x=-{\frac {\cosh x}{\sinh ^{2}x}}=-\operatorname {csch} \ x\cdot {\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}x}}\\\end{aligned}}$

Integrale

${\begin{aligned}\int \operatorname {sech} x\ \mathrm {d} x&=\arctan \left(\sinh x\right)+C\\\int \operatorname {csch} x\ \mathrm {d} x&=\ln \left|\operatorname {tanh} \,{\frac {x}{2}}\right|+C\end{aligned}}$

Reihenentwicklungen

${\begin{aligned}\operatorname {sech} \ x&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(8k+4)\pi }{(2k+1)^{2}\pi ^{2}+4x^{2}}}\\\operatorname {csch} \ x&=1/x+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {2x}{k^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}\end{aligned}}$

Komplexes Argument

${\begin{aligned}&\operatorname {sech} (x+\mathrm {i} y)={\frac {2\cosh(x)\cos(y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}+\mathrm {i} {\frac {-2\sinh(x)\sin(y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}\\&\operatorname {sech} (\mathrm {i} y)=\sec(y)\\&\operatorname {csch} (x+\mathrm {i} y)={\frac {2\sinh(x)\cos(y)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {-2\cosh(x)\sin(y)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}\\&\operatorname {csch} (\mathrm {i} y)=-\mathrm {i} \csc(y)\end{aligned}}$

Siehe auch

• Trigonometrische Funktionen
• Kreis- und Hyperbelfunktionen.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Hyperbolic Cosecant. In: MathWorld (englisch).

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus | Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus | Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus | Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus | Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus