Semilineare Abbildung

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Als semilineare Abbildung[1] bezeichnet man in der linearen Algebra eine Abbildung eines Vektorraums über einem Körper auf einen anderen Vektorraum über demselben Körper, die linear bis auf einen Körperautomorphismus also in diesem Sinne „fast“ eine lineare Abbildung ist. In der Geometrie werden im gleichen Sinn auch allgemeiner semilineare Abbildungen zwischen Linksvektorräumen über evtl. auch verschiedenen Schiefkörpern definiert als Abbildungen, die linear bis auf einen Schiefkörpermonomorphismus sind.

Jede lineare Abbildung ist semilinear. Genau dann ist jede semilineare Abbildung über einem -Vektorraum (bzw. -Linksvektorraum) sogar linear, wenn der Körper (bzw  Schiefkörper) als einzigen Automorphismus die Identität zulässt. Diese Eigenschaft haben zum Beispiel alle Primkörper, der Körper der reellen Zahlen und alle euklidischen, insbesondere die reell abgeschlossenen Körper. Eine semilineare Funktion[1] (auch Semilinearform[2]) ist eine semilineare Abbildung eines -(Links-)Vektorraumes in den (Schief-)Körper selbst als eindimensionaler -Vektorraum.

Bei Wahl fester Basen der Vektorräume kann jede semilineare Abbildung eindeutig als Hintereinanderausführung einer linearen Abbildung, d. h. einer Matrix, und der Anwendung des jeweiligen (Schief-)Körperautomorphismus auf jede Koordinate dargestellt werden.

Die für Anwendungen außerhalb der Geometrie im engeren Sinn, etwa für Sesquilinearformen, wichtigsten Fälle sind die semilinearen Abbildungen zwischen komplexen Räumen, also zwischen -Vektorräumen, bezüglich der komplexen Konjugation. Für diese Fälle wird der im vorliegenden Artikel beschriebene Begriff auch als „antilineare Abbildung“ oder „konjugiert lineare Abbildung“ bezeichnet, im projektiven Fall heißt eine bijektive, semilineare Selbstabbildung dann auch Antiprojektivität, bei diesen Bezeichnungen muss die Abbildung jeweils semilinear, darf aber nicht linear sein, mit anderen Worten: Der zugehörige Körperautomorphismus darf nicht die identische Abbildung sein.[3]

Jede semilineare Abbildung liefert in der synthetischen Geometrie eine Darstellung des homogenen Anteils einer geradentreuen Abbildung einer mindestens zweidimensionalen desarguesschen affinen Geometrie mit mehr als zwei Punkten auf jeder Geraden auf eine andere affine Geometrie bzw.  eine Matrixdarstellung einer mindestens zweidimensionalen, desarguesschen projektiven Geometrie auf eine andere projektive Geometrie in Bezug auf je ein in Werte- und Zielraum fest vorgegebenes Koordinatensystem. Hier kann der Morphismus aus der Definition und der Darstellung auch ein Schiefkörpermonomorphismus, also ein injektiver Ringhomomorphismus zwischen Schiefkörpern sein. Der Bildraum kann dann auch ein -Linksvektorraum über einem „größeren“ Schiefkörper und der Werteraum über einem Körper sein, der zu einem Teilkörper isomorph ist.[1]

Bijektive, semilineare Selbstabbildungen eines mindestens zweidimensionalen, desarguesschen affinen oder projektiven Raumes sind in diesem Sinne genau die Matrix-Darstellungen für die Kollineationen dieses Raumes, ggf. zusammen mit einem Schiefkörperautomorphismus.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Abbildung eines -(Links-)Vektorraumes über dem Körper (bzw.  Schiefkörper) auf einen -Linksvektorraum heißt semilineare Abbildung,[1] falls ein (Schief-)Körperautomorphismus existiert, mit dem sie den beiden folgenden Bedingungen genügt. Für alle und alle gilt:

  1. Superposition: , mit anderen Worten: ist ein Gruppenhomomorphismus der abelschen Gruppe .

Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Schiefkörper und , seien - bzw. -dimensionale Linksvektorräume über . Sei eine semilineare Abbildung. Dann existieren für eine beliebige Vektorraumbasis von und eine beliebige Vektorraumbasis von eindeutige -Matrizen und ein Schiefkörperautomorphismus , so dass für einen beliebigen Koordinatenvektor in der Koordinatendarstellung bezüglich der Basis

gilt bzw.

wenn der Bildvektor als Koordinatenvektor bezüglich der Basis dargestellt wird. Die Matrizen , sind durch die Basen und die genannte Beziehung zu jeweils eindeutig bestimmt, aber im Allgemeinen voneinander verschieden. Als Automorphismus kann in beiden Darstellungen der gleiche, unabhängig von den gewählten Basen verwendet werden. Eindeutig bestimmt ist er durch die Beziehung zu , sofern für das Bild der semilinearen Abbildung gilt. Vergleiche hierzu auch Kollineation.

Beispiele und Gegenbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es seien Vektorräume über den komplexen Zahlen. Eine Abbildung
ist genau dann eine Sesquilinearform, wenn die Abbildungen für jeden festen Vektor linear und die Abbildung für jeden festen Vektor semilinear mit der Konjugation als Körperautomorphismus ist.
  • Es sei . Der nichtidentische, involutorische Automorphismus
induziert zusammen mit einer beliebigen -Matrix eine semilineare Abbildung
des -Vektorraums bezüglich seiner Standardbasis. Ist regulär, stellt diese Abbildung geometrisch eine Kollineation des affinen Raums über dar.

Die Gruppe der semilinearen Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeine semilineare Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gruppe der invertierbaren semilinearen Abbildungen eines -Vektorraums wird als Allgemeine semilineare Gruppe bezeichnet. Sie lässt sich als semidirektes Produkt

der allgemeinen linearen Gruppe mit der Galois-Gruppe von als Körpererweiterung eines Primkörpers zerlegen. (Der zweite Faktor sind gerade die Körperautomorphismen von , weil jeder Körperautomorphismus den Primkörper festlassen muss.)

Projektive semilineare Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Projektive semilineare Gruppe eines -Vektorraums ist das semidirekte Produkt

,

der projektiven linearen Gruppe mit der Gruppe der Körperautomorphismen. Sie wirkt auf dem projektiven Raum .

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist allgemeiner ein Ring und ein Endomorphismus, so heißt eine additive Abbildung -semilinear, wenn

für alle und gilt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Günter Pickert: Analytische Geometrie. 6., durchgesehene Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1967.
  • Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band II. 2. durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig 1980, ISBN 3-528-13057-1.
  • Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der linearen Algebra. 2., überarb. und erw. Auflage. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0 (Inhaltsverzeichnis [abgerufen am 14. Januar 2012]).
  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. In: Lehrbuch der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker: in 4 Bänden. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich 1990, ISBN 3-411-14101-8.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b c d Scheja und Storch (1994)
  2. Storch, Wiebe (1990)
  3. Schaal (1980) S. 198
  4. Edson de Faria, Welinton de Melo: Mathematical Aspects of Quantum Field Theory. 1. Auflage. Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-11577-3, S. 19.