Sesquilinearform

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Als Sesquilinearform (lat. sesqui = anderthalb) bezeichnet man in der linearen Algebra eine Funktion, die zwei Vektoren einen Skalarwert zuordnet, und die linear in einem, semilinear im anderen ihrer beiden Argumente ist. Ein klassisches Beispiel ist die durch

definierte Abbildung . Hierbei bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation.

Die beiden Argumente können verschiedenen Vektorräumen entstammen, denen jedoch ein gemeinsamer Skalarkörper zugrunde liegen muss; eine Sesquilinearform ist eine Abbildung ; sie ist eine Linearform bezüglich des einen und eine Semilinearform bezüglich des anderen Argumentes. Für die Reihenfolge von linearem und semilinearem Argument gibt es unterschiedliche Konventionen; in der Physik ist es üblich, das semilineare Argument zuerst zu nennen.

Über den reellen Zahlen stimmt das Konzept der Sesquilinearform mit dem der Bilinearform überein.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien Vektorräume über den komplexen Zahlen.

Eine Abbildung

heißt Sesquilinearform, wenn semilinear im ersten und linear im zweiten Argument ist, das heißt

und

Dabei sind , und .

Manchmal wird stattdessen auch Linearität im ersten und Semilinearität im zweiten Argument gefordert; dieser Unterschied ist jedoch rein formaler Natur.

Diese Definition lässt sich auch auf Vektorräume über anderen Körpern oder Moduln über einem Ring verallgemeinern, sobald auf dem Grundkörper bzw. -ring ein ausgezeichneter Automorphismus oder zumindest Endomorphismus

gegeben ist. Ein Kandidat für derartige Endomorphismen ist der Frobeniushomomorphismus in positiver Charakteristik.

Die konstante Nullabbildung ist eine Sesquilinearform, wir schreiben . Punktweise Summen und skalare Vielfache von Sesquilinearformen sind wieder Sesquilinearformen. Die Menge der Sesquilinearformen bildet also einen -Vektorraum.

Hermitesche Sesquilinearform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Sesquilinearform heißt hermitesch, falls

gilt. Diese Definition ist analog zur Definition der symmetrischen Bilinearform. Das Adjektiv hermitesch leitet sich von dem Mathematiker Charles Hermite ab.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das innere Produkt über einem komplexen Vektorraum ist eine Sesquilinearform mit Hermitescher Symmetrie, also sogar eine Hermitesche Form, siehe auch Kreinraum.

Polarisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine wichtige Rolle spielt die sogenannte Polarisierungsformel

die zeigt, dass die Form bereits durch ihre Werte auf der Diagonalen, d. h. auf Paaren der Form eindeutig bestimmt ist.

Die Polarisierungsformel gilt nur für Sesquilinearformen, nicht aber für allgemeine Bilinearformen.

Spezialfall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine unmittelbare Konsequenz aus der Polarisierungsformel ist die Tatsache, dass die Form bereits dann verschwindet, wenn für alle .

Oder anders ausgedrückt: Falls für alle , dann , also .

Gegenbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für allgemeine Bilinearformen gilt diese Aussage nicht, folglich kann es auch keine Polarisierungsformel geben. Dies erkennt man an folgendem Beispiel. Sei und setze

.

ist offenbar bilinear und es gilt für alle . Andererseits ist .

Folgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Hilbertraum und ein beschränkter linearer Operator. Dann ist eine beschränkte Sesquilinearform. Die Beschränktheit bedeutet, dass (hier ). Umgekehrt folgt aus dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz, dass jede beschränkte Sesquilinearform einen beschränkten Operator bestimmt, so dass für alle .

Insbesondere verschwindet genau dann, wenn verschwindet. Dies kann man auch wie folgt leicht direkt sehen: falls so folgt für alle , also . Die Umkehrung folgt sofort aus der Definition von .

Mit der Polarisierungsidentität folgt also, dass ein Operator genau dann Null ist, wenn für alle . Diese Aussage gilt jedoch nur über dem Grundkörper der komplexen Zahlen , über den reellen Zahlen ist zusätzlich die Bedingung notwendig, dass T selbstadjungiert ist.[1]

Sesquilinearformen auf Moduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Konzept der Sesquilinearform lässt sich auf beliebige Moduln verallgemeinern, wobei an die Stelle der komplexen Konjugation ein beliebiger Antiautomorphismus auf dem zugrundeliegenden nicht notwendigerweise kommutativen Ring tritt. Seien Moduln über demselben Ring und ein Antiautomorphismus auf . Eine Abbildung heißt genau dann -Sesquilinearform, wenn für beliebige , und die folgenden Bedingungen gelten:

  • [2]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. D. Werner: Funktionalanalysis 5., erweiterte Auflage. Springer, 2004, ISBN 3-540-21381-3, Korollar V.5.8, S. 236.
  2. Nicolas Bourbaki: Algèbre (= Éléments de mathématique). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-35338-0, Kap. 9, S. 10.