Seventeen or Bust

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Seventeen or Bust ist ein gemeinschaftliches Internet-Projekt, das sich als Aufgabe gesetzt hat, das Sierpiński-Problem zu lösen.[1]

Seit Mitte April 2016 ist der SoB-Server nicht mehr erreichbar und damit die Zukunft des Grundprojektes ungewiss. Seine Fragestellungen werden aber wohl auch in den beiden Internet-Projekten zum Prime-Sierpiński-Problem und zum erweiterten Sierpiński-Problem mit beantwortet.[2]

Sierpiński-Problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Problem lautet: „Welche ist die kleinste Sierpiński-Zahl?“ John L. Selfridge hat 1962 gezeigt, dass 78557 eine Sierpiński-Zahl ist.[3] Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob 78557 die kleinste Sierpiński-Zahl ist. Es wird aber vermutet, dass es sich um die kleinste Sierpiński-Zahl handelt. Allerdings kommen noch 17 weitere Zahlen in Frage, die allesamt kleiner wären als 78557 und somit den Titel der kleinsten Sierpiński-Zahl für sich beanspruchen könnten. Es handelt sich um folgende 17 Zahlen:

4847, 5359, 10223, 19249, 21181, 22699, 24737, 27653, 28433, 33661, 44131, 46157, 54767, 55459, 65567, 67607, 69109

Ziel des Projekts[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Projekt startete im März 2002. Es will beweisen, dass 78557 tatsächlich die kleinste Sierpiński-Zahl ist. Dafür muss es zeigen, dass es für alle anderen 17 oben genannten Zahlen zumindest ein existiert, sodass gilt: ist eine Primzahl. Wird so ein gefunden, kann die dazugehörige Zahl keine Sierpiński-Zahl sein, denn bei einer Sierpiński-Zahl muss für alle eine zusammengesetzte Zahl sein.

Für jede der oben genannten 17 Werte für sucht das Projekt also nach Primzahlen der Form

Es verwendet dabei den Satz von Proth. Wenn ein geeignetes gefunden wurde, hat man eine Prothsche Primzahl gefunden und gleichzeitig vor allem bewiesen, dass keine Sierpiński-Zahl ist. Wenn von allen 17 obigen Zahlen ein gefunden werden konnte, ist der Beweis erbracht, dass 78557 tatsächlich die kleinste Sierpiński-Zahl ist.

Natürlich kann auch sein, dass es für eine oder sogar für mehrere der obigen Zahlen tatsächlich kein existiert, sodass eine Primzahl ist. In diesem Fall würde die Suche nach einer Primzahl natürlich unendlich lang dauern, ohne Aussicht auf Erfolg. Es gibt aber Gründe dafür, dass die Behauptung „78557 ist die kleinste Sierpiński-Zahl“ richtig ist.[4]

Momentanes Ergebnis der Suche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

„Seventeen or Bust“ hat mittlerweile für 12 der 17 übriggebliebenen Zahlen mindestens ein gefunden, das zu einer Primzahl führt.[5][6][7]

k n Stellen von k•2n+1 Datum der Entdeckung Entdecker
46.157 698.207 210.186 27. November 2002 Stephen Gibson
65.567 1.013.803 305.190 3. Dezember 2002 James P. Burt
44.131 995.972 299.823 6. Dezember 2002 Anonym
69.109 1.157.446 348.431 7. Dezember 2002 Sean DiMichele
54.767 1.337.287 402.569 22. Dezember 2002 Peter Coels
5.359 5.054.502 1.521.561 6. Dezember 2003 Randy Sundquist
28.433 7.830.457 2.357.207 30. Dezember 2004 Ars Technica Team Prime Rib
27.653 9.167.433 2.759.677 8. Juni 2005 Derek Gordon
4.847 3.321.063 999.744 15. Oktober 2005 Richard Hassler
19.249 13.018.586 3.918.990 5. Mai 2007 Konstantin Agafonov
33.661 7.031.232 2.116.617 17. Oktober 2007 Sturle Sunde
10.223 31.172.165 9.383.761 31. Oktober 2016 Péter Szabolcs
21.181 > 29.500.000 > 8.880.389 (in Arbeit)
22.699 > 29.500.000 > 8.880.389 (in Arbeit)
24.737 > 29.500.000 > 8.880.389 (in Arbeit)
55.459 > 29.500.000 > 8.880.389 (in Arbeit)
67.607 > 29.500.000 > 8.880.389 (in Arbeit)

Colbert-Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die durch das Projekt „Seventeen or Bust“ gefundene Primzahl ist die momentan größte bekannte Primzahl, die keine Mersenne-Primzahl ist[8] (Stand: 14. November 2016). Die sechs Primzahlen der oberen Liste mit über einer Million Stellen:

und

nennt man auch Colbert-Zahlen[9][10] (dies ist auch gleichzeitig die Definition der Colbert-Zahlen: Primzahlen mit über einer Million Stellen, die bei der Suche mit „Seventeen or Bust“ gefunden werden). Sie wurden nach dem US-amerikanischen Komiker und Satiriker Stephen T. Colbert benannt.

Ausblick in die Zukunft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den endgültigen Beweis, dass 78557 die kleinste Sierpiński-Zahl ist, muss noch gezeigt werden, dass für die folgenden mindestens ein existiert, sodass eine Primzahl ist:

Es wird davon ausgegangen, dass irgendwann tatsächlich zu jedem der obigen fünf noch mindestens ein gefunden wird. Die so gefundenen Primzahlen werden über eine Million Stellen haben und somit ebenfalls Colbert-Zahlen genannt werden. Man kann auch davon ausgehen, dass die größte der so gefundenen Primzahlen größer ist als alle momentan bekannten Primzahlen.[10]

Prime-Sierpiński-Problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die möglicherweise kleinste Sierpiński-Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl.

1976 bewies Nathan Mendelsohn (1917–2006), dass die Primzahl ebenfalls eine Sierpiński-Zahl ist.[11] Dies ist die momentan zweitkleinste bekannte Sierpiński-Zahl und die kleinste bekannte prime Sierpiński-Zahl.

Das Prime-Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob tatsächlich die kleinste prime Sierpiński-Zahl ist.[12] Um dies zu überprüfen, müssen die folgenden 10 Primzahlen überprüft werden (wobei die ersten zwei Zahlen schon in obigem Problem auftauchen) (Stand: 14. November 2016):

k = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 168451, 222113, 225931, 237019

Das Internet-Projekt „Prime Sierpinski Project“ beschäftigt sich seit dem 1. Januar 2004 mit dieser Frage.[13]

Erweitertes Sierpiński-Problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das erweiterte Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob tatsächlich die zweitkleinste Sierpiński-Zahl ist.[12][14] Um dies zu überprüfen, müssen neben den 10 oben genannten Zahlen noch zusätzlich die folgenden 14 zusammengesetzten Zahlen überprüft werden (wobei die ersten drei Zahlen schon im ursprünglichen Problem auftauchen) (Stand: 10. Januar 2015):

k = 21181, 24737, 55459, 91549, 99739, 131179, 163187, 193997, 200749, 202705, 209611, 227723, 229673, 238411

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • PrimeGrid – Internet-Suche nach Rekord-Primzahlen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Louie Helm & David Norris: Seventeen or Bust. Abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, Startseite des Projekts).
  2. Michael Goetz: Re: Server down?.
  3. Sierpinski problem. Mersennewiki, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, Beweis, dass k=78557 eine Sierpinski-Zahl ist).
  4. Chris Caldwell: Sierpinski number. The Prime Glossary, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, Gründe dafür, dass k=78557 die kleinste Sierpinski-Zahl ist).
  5. Louie Helm & David Norris: Seventeen or Bust. Abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, aktueller Status des Projekts).
  6. Weisstein, Eric W.: Sierpiński Number of the Second Kind. Wolfram MathWorld, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, aktueller Status des Projekts).
  7. Chris K. Caldwell: Seventeen or Bust. Prime Pages, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, aktueller Status des Projekts).
  8. Chris K. Caldwell: Largest Known Primes. Prime Pages, abgerufen am 14. November 2016 (englisch, die 20 größten bekannten Primzahlen).
  9. Helm, Louis: Colbert Number. Wolfram MathWorld, abgerufen am 14. November 2016 (englisch).
  10. a b Chris K. Caldwell: Colbert number. Prime Pages, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch).
  11. Nathan S. Mendelsohn: The equation φ(x) = k. Math. Mag. 49, 1976, S. 37–39.
  12. a b Wilfrid Keller: The Sierpiński Problem: Definition and Status. Prothsearch, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, erweitertes Sierpiński-Problem).
  13. Prime Sierpinski Project. rechenkraft.net, abgerufen am 8. Dezember 2015.
  14. Rytis Slatkevičius: Welcome to the Extended Sierpinski Problem. PrimeGrid, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, erweitertes Sierpiński-Problem).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Chris K. Caldwell: Riesel Sieve Project. Prime Pages, abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, ein verwandtes Internet-Projekt für Zahlen der Form k·2n−1).
  • Louie Helm & David Norris: Seventeen or Bust. Abgerufen am 7. Dezember 2015 (englisch, Startseite des Projekts).