Shin’ichi Mochizuki

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Shin’ichi Mochizuki (jap. 望月 新一, Mochizuki Shin’ichi; * 29. März 1969 in Tokio) ist ein japanischer Mathematiker. Er ist Professor am Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) der Universität Kyōto. Er befasst sich mit algebraischer Geometrie und arithmetischer Geometrie.

Leben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mochizuki lebte ab dem Alter von fünf Jahren mit seinen Eltern in New York City, besuchte die Phillips Exeter Academy mit dem Abschluss 1985 und studierte danach an der Princeton University zunächst theoretische Physik bei Arthur Wightman und Edward Witten, bevor er sich bei Gerd Faltings der Mathematik (algebraische Geometrie) zuwandte mit dem Master-Abschluss 1988,[1] er erhielt den George B. Wood Prize als Student mit den besten Noten. Außerdem erhielt er den George-B.-Covington-Preis für Mathematik. 1992 wurde er bei Gerd Faltings promoviert (The Geometry of the Compactification of the Hurwitz Scheme).[2] Danach war er 1992 bis 1994 Benjamin-Peirce-Instructor an der Harvard University und gleichzeitig am RIMS, wo er 1996 Assistenzprofessor und 2002 Professor wurde.

Werk[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anfang der 1990er Jahre entwickelte er eine p-adische Teichmüllertheorie, das heißt das p-adische Analogon der Uniformisierung hyperbolischer Kurven und ihrer Moduli (im klassischen komplexen Fall durch Paul Koebe, Lipman Bers). Weiter entwickelte er Mitte der 1990er Jahre eine p-adische Anabelsche Geometrie und Ende der 1990er Jahre eine Hodge-Arakelov-Theorie elliptischer Kurven (Analogon der Hodge-Theorie für elliptische Kurven im Rahmen der Arakelov-Geometrie).

2012 kündigte er einen Beweis der abc-Vermutung an (über die äquivalente Vermutung von Lucien Szpiro über elliptische Kurven)[3] im Rahmen einer von ihm in den 2000er Jahren entwickelten Theorie, die den üblichen in der arithmetischen und algebraischen Geometrie benutzten Schema-Rahmen überschreitet und die er inter-universale Geometrie nennt, und hier speziell inter-universale Teichmüllertheorie (IUT, von ihm ab 2006 entwickelt). Diese ist nach eigenen Worten analog zu seiner Konstruktion der p-adischen Teichmüllertheorie hyperbolischer Kurven, wobei p-adische Körper durch Zahlkörper mit zugehörigen elliptischen Kurven ersetzt sind. Da der Beweis über 500 Seiten lang ist und zusätzliche Referenzen zu vorherigen Arbeiten Mochizukis umfasst, die alle noch nicht erschienen waren (außer als Preprints) und völlig neuartige mathematische Konzepte und Techniken verwenden, wird er im Moment noch von Mathematikern überprüft.[4][5] Im 2015 vorgelegten letzten Teil seiner Preprints zur abc-Vermutung stellt Mochizuki selbst einen engen Bezug zwischen dem von ihm hierfür entwickelten mathematischen Apparat und der berühmten Riemannschen Vermutung her.[6]

Eine 2012 von Akshay Venkatesh und Vesselin Dimitrov gefundene Beweislücke (Teil 3,4 seiner Preprint-Reihe) wurde von Mochizuki zugestanden, aber für behebbar erklärt – er korrigierte in der Folge seine Preprints.[7]

Auf einer Konferenz beim Clay Mathematics Institute in Oxford im Dezember 2015 stellte sich zumindest heraus, um welche Art mathematischer Objekte es bei Mochizukis Beweis gehen könnte. Mochizuki geht von Szpiros äquivalenter Formulierung der abc-Vermutung über die Theorie elliptischer Kurven aus und im Laufe der Konferenz wurde klar, dass dabei die von ihm eingeführten algebraischen Konzepte der Frobenioide[8] eine wesentliche Rolle spielen (Vortrag Kiran Kedlaya). Es gelang den Befürwortern von Mochizukis Beweis (Chung Pang Mok, Yuichiro Hoshi und Go Yamashita; Mochizuki selbst war nicht anwesend, beantwortete aber Fragen über Skype) jedoch nicht eine überzeugende Darstellung der weiteren Schritte des Beweises zu präsentieren.[9]

Auf einer Konferenz im Juli 2016 in Kyoto war Mochizuki selbst anwesend und die Zahl der überwiegend jüngeren Mathematiker, die sich intensiv mit dem Verständnis der Arbeit von Mochizuki beteiligten, erhöhte sich von drei bei dem Treffen in Oxford 2015 auf zehn. Nach Einschätzung von Jeffrey Lagarias enthalten die Preprints einige revolutionäre neue Ideen in der Zahlentheorie.[10]

Während sich 2017 nach fünf Jahren vertraulichem Peer Review eine Veröffentlichung in den Publications of the RIMS abzeichnet (deren Herausgeber Mochizuki ist), hat sich an der Akzeptanzfrage nicht viel geändert.[11] Der Kern des Beweises liegt im Korollar 3.12 zu Theorem 3.11 (der Hauptsatz der IUT) und hier liegen auch wesentliche Verständnisprobleme.[12] Ein anderer Punkt ist, dass man eigentlich erwarten würde, dass durch den Beweis neue Einsichten auch jenseits des Beweises der abc-Vermutung gewonnen werden können. Jakob Stix und Peter Scholze waren im März 2018 eine Woche bei Mochizuki, um mit ihm über dessen Beweis zu diskutieren. Mochizuki blieb bei seinem Standpunkt, sein Beweis sei korrekt; auf Seiten von Scholze und Stix gebe es Missverständnisse und zu starke Vereinfachungen.[13] Im September 2018 veröffentlichten Stix und Scholze einen zehnseitigen Aufsatz. Darin schreiben sie, das erwähnte Korollar 3.12 sei eine fundamentale, ihrer Ansicht nach nicht behebbare Lücke im Beweis.[14][15]

Ehrungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1997 erhielt er den Herbstpreis der Japanischen Mathematischen Gesellschaft und 2005 die Medaille der Japan Academy.

1998 war er Invited Speaker auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Berlin (The intrinsic Hodge theory of p-adic hyperbolic curves).

2004 war er unter den ersten Empfängern des JSPS-Preises (Preis der Japan Society for the Promotion of Science)[16] für Forschungen zur arithmetischen Geometrie hyperbolischer Kurven, einschließlich der Lösung der Grothendieck-Vermutung zur Anabelschen Geometrie mit p-adischen Methoden.[17][18]

Schriften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • A Version of the Grothendieck Conjecture for p-adic Local Fields, The International Journal of Mathematics, Band 8, 1997, S. 499–506.
  • Foundations of p-adic Teichmüller theory, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, Band 11, Providence, R.I.: American Mathematical Society, International Press 1999
  • Inter-universal Teichmüller Theory. (Preprints)
  • A panoramic overview of Inter-Universal Teichmüller Theory, in: Algebraic number theory and related topics 2012, RIMS Kôkyûroku Bessatsu B51, RIMS, Kyoto (2014), S. 301–345, pdf (Übersichtsartikel)
  • The mathematics of mutually alien copies: from Gaussian integrals to Inter-Universal Teichmüller Theory, 2016, pdf (Übersichtsartikel)
  • The étale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations, Publ. RIMS, Band 45, 2009, S. 227–349.
  • Arithmetic elliptic curves in general position, Math. J. Okayama Univ., Band 52, 2010, S. 1–28.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gerd Faltings: Curves and their fundamental groups, following Grothendieck, Tamagawa and Mochizuki. Seminaire Bourbaki, Nr. 840, März 1998
  • Iwan Borissowitsch Fessenko: Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki. In: Europ. J. Math. 2015, 1, S. 405–440, Online
  • Vesselin Dimitrov: Effectivity in Mochizuki´s work on the abc conjecture, Preprint 2016, Arxiv
  • Davide Castelvecchi: The impenetrable proof, Nature, Band 526, 2015, S. 179–181, nachgedruckt mit Ergänzungen in: Mircea Pitici (Hrsg.), The best writings in mathematics 2016, Princeton UP 2017
  • Go Yamashita: A proof of the abc conjecture after Mochizuki, Preprint 2017, Online

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Princeton Weekly Bulletin. Band 77, 20. Juni 1988, Online, Senior Address Commencement Crowd@1@2Vorlage:Toter Link/libserv23.princeton.edu (Seite nicht mehr abrufbar, Suche in Webarchiveni Info: Der Link wurde automatisch als defekt markiert. Bitte prüfe den Link gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis., mit Mochizuki als Salutatorian
  2. Mathematics Genealogy Project
  3. Preprint Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-volume computations and set-theoretic foundations, RIMS, August 2012. Die Teile 1–3 lagen bis August 2012 auch nur als Preprints vor.
  4. Holger Dambeck: Japaner präsentiert Lösung für Primzahlen-Rätsel. auf Spiegel-Online, 26. September 2012
  5. The Paradox of the Proof
  6. Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations. September 2015, S. 47–53
  7. Kevin Hartnett, An abc proof too tough even for mathematicians, in: Mircea Pitici (Hrsg.), The best writings in mathematics 2013, Princeton UP 2014, S. 228, ursprünglich Boston Globe 4. November 2012
  8. Frobenioid, nLab, mit Weblinks. Siehe auch den in der Literatur zitierten Artikel von Fessenko.
  9. Bericht von Kevin Hartnett 2015, siehe Weblinks
  10. Davide Castelvecchi, Monumental proof to torment mathematicians for years to come, Nature, 28. Juli 2016
  11. Latest on abc, Blog Not even wrong von Peter Woit, 16. Dezember 2017
  12. Frank Calegari, The abc conjecture has (still) not been proved, Blog, 17. Dezember 2017. Mit kritischen Kommentaren unter anderem von Peter Scholze (PS), Brian Conrad und Terence Tao.
  13. Webseite von Mochizuki dazu mit dem Report von Scholze und Stix und Antworten von Mochizuki
  14. Erica Klarreich: Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture, Quanta Magazine, 20. September 2018
  15. siehe auch Manfred Dworschak: Schwurbel aus dem All. In: Der Spiegel 41/2018, S. 110.
  16. Offizielle Webseite JSPS
  17. Research on the Arithmetic Geometry of Hyperbolic Curves, including Solution via p-adic Methods of the Grothendieck Conjecture on Anabelian Geometry
  18. S. Mochizuki: The profinite Grothendieck conjecture for hyperbolic curves over number fields. In: J. Math. Sci. Univ. Tokyo. Band 3, 1996, S. 571–627