Siebeneck

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Regelmäßiges Siebeneck

Das Siebeneck (auch Heptagon von griech. heptagon von hepta = sieben) ist eine geometrische Figur. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (Polygone). Es ist definiert durch sieben Punkte. Sofern nichts anderes gesagt wird, ist von einem ebenen, regelmäßigen Siebeneck die Rede (siehe Bild), dessen sieben Seiten gleich lang sind und dessen sieben Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Mathematische Zusammenhänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formel für Winkelberechnungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Summe der Innenwinkel des Siebenecks beträgt stets 900° und ergibt sich aus einer allgemeinen Formel für Polygone, in der für die Variable die Anzahl der Eckpunkte des Polygons eingesetzt werden muss (in diesem Fall: ):

Der Winkel, den zwei benachbarte Seitenkanten im ebenen, regelmäßigen Siebeneck miteinander einschließen, beträgt (wiederum nach einer allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone):

Formel für die Fläche A[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Siebeneck besitzt einen eindeutig bestimmbaren Flächeninhalt, welcher sich stets durch Zerlegen in Dreiecke berechnen lässt. Die Fläche des regelmäßigen Siebenecks beträgt das Siebenfache der Fläche eines jener Dreiecke, die von seinem Mittelpunkt und je zwei benachbarten Eckpunkten aufgespannt werden.

oder mit dem Umkreisradius:

Formel für die Seitenlänge s[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Näherungskonstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein regelmäßiges Siebeneck kann nicht mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden, da es kein konstruierbares Polygon ist.

Für die Praxis gibt es einige ausreichend genaue Näherungskonstruktionen.

Es geht darum, eine Strecke zu erhalten, welche möglichst genau das 0,86776747823-Fache eines gegebenen Radius ist.

Erste Näherung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine sehr einfache Näherungskonstruktion, auch bekannt aus Konstruktionen zu regelmäßigen Vielecken von Albrecht Dürer[1], ist in folgender Zeichnung dargestellt:

Konstruktion eines Siebenecks
  1. Vom Mittelpunkt des Umkreises zeichnet man eine Gerade, die den Umkreis im Punkt schneidet.
  2. Dann zeichnet man einen Kreis um , der durch verläuft und den Umkreis in den Punkten und schneidet.
  3. Die Gerade schneidet die Strecke im Halbierungspunkt .
  4. Die rote Strecke ist eine gute Näherung für die Seitenlänge des Siebenecks.
  5. Die Eckpunkte bis erhält man durch Abschlagen der Strecke .

Genau dieselbe Streckenlänge lässt sich folgendermaßen konstruieren:

  1. Konstruiere das dem Umkreis einbeschriebene regelmäßige (gleichseitige) Dreieck.
  2. Die Hälfte einer Dreiecksseite nimm als Näherung für die Seite des Siebenecks.

In dieser Form war sie bereits dem im 10. Jahrhundert in Bagdad wirkenden Gelehrten Abu l-Wafa bekannt.[2]

Aus dem rechtwinkligen Dreieck AHM errechnet sich:

Mit

 ; und

Bei dieser Konstruktion beträgt der relative Fehler

Die mit dieser Konstruktion gewonnene Seitenlänge ist etwas zu kurz und beträgt 99,8 Prozent des wahren Wertes. Oder anders formuliert: Bei einem Umkreisradius von ungefähr 57,4 cm beträgt der Fehler in der Seitenlänge einen Millimeter.

Zweite Näherung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Koordinatensystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine etwas aufwändigere, aber genauere Näherungskonstruktion ist in folgender Zeichnung dargestellt:

Alternative Konstruktion eines Siebenecks
  1. In einem rechtwinkeligen Koordinatensystem zeichnet man einen Kreis, der seinen Mittelpunkt im Ursprung hat und genau durch den Punkt mit den Koordinaten verläuft.
  2. Der Schnittpunkt der positiven -Achse mit der Kreislinie wird als Eckpunkt des regelmäßigen Siebenecks festgelegt.
  3. Die Gerade (horizontale grüne Linie) schneidet die Kreislinie in unmittelbarer Nähe der Eckpunkte und .
  4. Wenn man die Streckensymmetrale der Strecke mit dem Kreis schneidet, erhält man eine Näherung für den Eckpunkt .
  5. Die rote Strecke oder ist eine sehr gute Näherung für die Seitenlänge des regelmäßigen Siebenecks.
  6. Die Eckpunkte , und erhält man durch Spiegelung oder Abschlagen der Seitenlänge am Umkreis.

Bezeichnet man den Umkreisradius mit , den Abstand der von mit und substituiert , so ergibt sich bei dieser Konstruktion:

(1) ,

und mit den Werten

(2) 

ergibt sich:

(3) 
(3a) 

Die mit dieser Konstruktion gewonnene Seitenlänge ist also etwas zu lang, der relative Fehler beträgt näherungsweise 0,00057821133, also 0,0578 Prozent. Oder anders formuliert: Bei einem Umkreisradius von ungefähr 199,3 cm beträgt der Fehler in der Seitenlänge einen Millimeter.

Mit gegebenem Umkreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Nachteil der o.g. Konstruktion besteht darin, dass nicht von einem direkt gegebenen Radius ausgegangen wird. Will man vom Radius ausgehen, so besteht die Aufgabe darin, den zum gegebenen Radius gehörenden Abstand zwischen der Gerade und dem Mittelpunkt (das ist die Längeneinheit der Konstruktion mit geg. Koordinatensystem) zu finden.

Zweite Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreisradius
Herleitung des Abstands d

Aus der Konstruktion mit Koordinatensystem und der Zeichnung kann man ablesen:

Damit gilt

Außerdem ist nach dem Satz des Pythagoras noch

Im rechtwinkligen Dreieck MZP gilt nach dem Kathetensatz

und

Der Quotient ist gemäß obiger Darstellung

und damit

wobei p und q die Hypotenusenabschnitte sind. Ihre Längen betragen 4/5 und 1/5 des Radius. Damit lässt sich der Punkt Z konstruieren und somit der Abstand d festlegen.

Konstruktion
  • Konstruiere über dem Radius einen Thaleskreis.
  • Errichte im Abstand von von M das Lot. Der so gewonnene Punkt auf dem Thaleskreis ist der Punkt Z des rechtwinkligen Dreiecks MZP (entspricht Punkt (2/0) bei der Konstruktion mit Koordinatensystem).
  • Konstruiere durch M die Parallele zur längeren Kathete . Der Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Punkt A.
  • Trage die Strecke auf die Gerade AM von M aus in die Gegenrichtung ab (Z', entspricht Punkt (0/-2) bei der Konstruktion mit Koordinatensystem).
  • Den Abstand d = erhält man durch Halbieren Strecke
  • Konstruiere die Gerade senkrecht zu durch N. die Schnittpunkte mit dem Umkreis sind die Punkte C und F
  • Der Rest folgt wie bei der Konstruktion mit Koordinatensystem.

Exakte Konstruktion mittels Dreiteilung eines Winkels[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nimmt man zu den klassischen (euklidischen) Werkzeugen Zirkel und Lineal noch ein Extrawerkzeug zur Dreiteilung des Winkels, wie z.B. einem Tomahawk so kann das Siebeneck jedoch exakt konstruiert werden.[3]

Konstruktion mit Tomahawk (rot)
  • Konstruiere einen Kreis - den späteren Umkreis des Siebenecks - um einen Mittelpunkt (O) auf einer Grundlinie (AZ). Einer der Schnittpunkte mit dem Kreis ist der erste Eckpunkt (A) des späteren Siebenecks.
  • Halbiere die beiden Radien des ersten Durchmessers (Punkte Q und R)
  • Errichte auf der so erhaltenen Strecke zwei gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge gleich dem Kreisradius. (Man erhält Punkte K und L).
  • Trage auf der Grundlinie (AZ) vom Mittelpunkt aus 1/6 des Radius in die dem auf der Grundlinie liegenden Eckpunkt entgegengesetzte Richtung ab (Punkt P).
  • Zeichne um den so erhaltenen Punkt einen Hilfskreis durch die beiden nicht auf der Grundlinie liegenden Ecken der gleichseitigen Dreiecke.
  • Zeichne in diesen Kreis die beiden Radien zu diesen beiden Punkten ein.
  • Teile den von diesen Radien gebildeten Winkel unter Verwendung des Extrawerkzeugs in drei Teile (z.B. Tomahawk, in der Zeichnung rot dargestellt) und zeichne die so gewonnenen Geraden ein. Sie schneiden den Hilfskreis in zwei weiteren Punkten (Punkte S und T).
  • Die Gerade durch diese Punkte - sie liegt senkrecht zur Grundlinie - schneidet den Umkreis des Siebenecks an den zum ersten Eckpunkt (A) benachbarten Ecken des Siebenecks (Punkte B und G).
  • Ergänze die noch fehlenden Ecken durch Abtragen der Seiten.

Verwendung des Siebenecks in der Praxis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das 20-Eurocent-Stück hat sieben Einkerbungen, um Blinden die Unterscheidung von anderen Münzen zu erleichtern (Spanische Blume). Die alte spanische 200-Peseten-Münze zeigt auf beiden Seiten ein Siebeneck, ebenso haben die britischen 20-Pence- und 50-Pence-Stücke eine siebeneckige Form.

In der Architektur findet das Siebeneck nur äußerst selten Verwendung – z. B. im Grundriss der mittelalterlichen Kirche Notre-Dame de l’Assomption im südfranzösischen Ort Rieux-Minervois. Der Konzertsaal „Hegelsaal“ im Kultur- und Kongresszentrum Liederhalle in Stuttgart hat ebenso wie seine Glaskuppel einen Grundriss in Form eines regelmäßigen Siebenecks. Weitere Beispiele sind das fürstliche Mausoleum in Stadthagen, der Glockenturm der Kirche Maria am Gestade in Wien oder das Schiff der Dorfkirche Ketzür.

Die Diagonalen des regelmäßigen Siebenecks bilden das Heptagramm (siebenzackiger Stern), das als Symbol in der Esoterik populär ist.

Sonstiges[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sternmotoren wurden meistens als 5-, 7- oder 9-Zylinder gebaut.

Vorkommen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt Fullerene (Kohlenstoffmoleküle), die siebeneckige Unterstrukturen aufweisen;[4] die chemische Verbindung Azulen sowie die Stoffgruppen der Tropolone, Benzodiazepine und weitere cyclische Verbindungen enthalten Siebenringe.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Helmuth Gericke: Mathematik im Abendland: Von den römischen Feldmessern bis zu Descartes. Dürer, Seite des Siebenecks S. 190 - 191, hierzu Abb. 3.26., linkes Bild; Weiteres im Inhaltsverzeichnis S. 351. In: Google Books. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ..., S. 352, abgerufen am 30. November 2015.
  2. C.J. Scriba, P. Schreiber 5000 Jahre Geometrie, Verlag Springer Berlin Heidelberg New York, 2. Auflage (2005) ISBN 3-540-22471-8
  3. Andrew Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. In: The American Mathematical Monthly. Band 95, Nr. 3, 1988, S. 185–194 (Seite 186, Fig. 1. Construction of a regular heptagon. PDF (Memento vom 19. Dezember 2015 im Internet Archive)). Original aus dem Archiv regeneriert am 31. Januar 2016
  4. E. Albertazzi, C. Domene, P. W. Fowler, T. Heine, G. Seifert, C. Van Alsenoy and F. Zerbetto: Pentagon adjacency as a determinant of fullerene stability, Phys. Chem. Chem. Phys., 1999, 1, 2913-2918.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Regelmäßige Siebenecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Siebeneck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Wikibooks: Siebeneck – Lern- und Lehrmaterialien