Sierpiński-Konstante

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Sierpinski-Konstante . Für die nach Sierpinski benannte Zahlenfolge siehe Sierpinski-Zahl.

Die Sierpiński-Konstante ist eine mathematische Konstante, benannt nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński. Sie kann unter anderem durch den folgenden Ausdruck definiert werden:

wobei die Anzahl der Darstellungen von in der Form mit ganzen Zahlen und unter Beachtung der Reihenfolge, die Kreiszahl und ln der natürliche Logarithmus ist.

Darstellungsformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein expliziter Ausdruck für die Sierpiński-Konstante ist

mit der Euler-Mascheroni-Konstante und der Gammafunktion . Aufgrund der Relation

ergibt sich die alternative Darstellung

Die Dezimalentwicklung von ist

(Folge A062089 in OEIS)

rn(k)-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

0 1
1 4
2 4
3 0
4 4
5 8
6 0
7 0
25 12
65 16

(Folge A004018 in OEIS).

Die Sierpiński-Konstante tritt bei der Untersuchung der Asymptotik der (im Englischen als Sum of Squares bezeichneten) Funktion

für den Fall n=2 auf (etwa um den Fall n=4 geht es beim Satz von Jacobi).

Beispielsweise ist = 0, da sich die Zahl 3 nicht als Summe aus zwei Quadratzahlen darstellen lässt, während = 8, denn 13 kann als Summe der Quadratzahlen 9 und 4 in zwei verschiedenen Reihenfolgen, und , jeweils in vier Vorzeichenkonstellationen gebildet werden.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wacław Sierpiński: O sumowaniu szeregu , gdzie τ(n) oznacza liczbę rozkładów liczby n na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych (Über die Summierung der Reihe , wo τ(n) die Anzahl der Darstellungen von n als Summe von zwei Quadraten bezeichnet), Prace matematyczno-fizyczne 18, 1907, S. 1–60 (polnisch; im Internet-Archiv; „K=2,5849817596“ auf S. 27; Jahrbuch-Bericht)
  • Steven R. Finch: Sierpinski’s constant, Kapitel 2.10 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 122–125 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]