Sierpiński-Zahl

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Sierpinski-Zahlen. Für die nach Sierpinski benannte Konstante, siehe Sierpinski-Konstante.

Eine Sierpinski-Zahl (benannt nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński) ist eine natürliche, ungerade Zahl , für die die unendliche Zahlenfolge mit keine Primzahlen enthält.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Zahlen sind bekannte Sierpiński-Zahlen :

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, … (Folge A076336 in OEIS)

Ist eine der oberen Zahlen, so ist für alle zusammengesetzt. Man erhält niemals eine Primzahl.

Gegenbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zahl ist keine Sierpinski-Zahl, da in der Folge wenigstens eine Primzahl auftritt: 39, 77, 153, 305, 609, 1217, 2433, ... Das sechste Glied der Folge, 1217, ist eine Primzahl. Das genügt zum Nachweis, dass 19 keine Sierpiński-Zahl ist. Ob noch weitere Primzahlen in dieser Folge auftreten oder nicht (das 10-te Glied ist die Primzahl 19457), ist unerheblich.

Primzahlen der Form nennt man Prothsche Primzahl.

Sierpinski-Problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Sierpiński-Problem lautet: Welche ist die kleinste Sierpinski-Zahl? 1962 hat John L. Selfridge gezeigt, dass 78557 eine Sierpinski-Zahl ist.[1] Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob 78557 die kleinste Sierpinski-Zahl ist. Es wird aber vermutet, dass es sich um die kleinste Sierpinski-Zahl handelt. Das Internet-Projekt Seventeen or Bust beschäftigt sich mit diesem Problem.

Um den Beweis durchzuführen, muss für jedes kleiner als 78557 eine Zahl gefunden werden, so dass die resultierende Proth-Zahl eine Primzahl ist. Dieser Beweis ist (Stand 14. November 2016) bereits für alle bis auf 5 Ausnahmen erfolgt, diese sind:

21181, 22699, 24737, 55459 und 67607 [1][2][3]

Die möglicherweise kleinste Sierpiński-Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl. Das prime Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob die kleinste prime Sierpiński-Zahl ist.[4] Um dies zu überprüfen, müssen die folgenden 10 Primzahlen überprüft werden (wobei die ersten zwei Zahlen schon in obigem Problem auftauchen) (Stand: 14. November 2016):

k = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 168451, 222113, 225931, 237019

Das erweiterte Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob tatsächlich die zweitkleinste Sierpiński-Zahl ist.[4][5] Um dies zu überprüfen, müssen neben den 11 oben genannten Zahlen noch zusätzlich die folgenden 14 zusammengesetzten Zahlen überprüft werden (wobei die ersten drei Zahlen schon im ursprünglichen Problem auftauchen) (Stand: 10. Januar 2015):

k = 21181, 24737, 55459, 91549, 99739, 131179, 163187, 193997, 200749, 202705, 209611, 227723, 229673, 238411

Riesel-Zahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Riesel-Zahl (benannt nach dem schwedischen Mathematiker Hans Riesel) ist eine natürliche, ungerade Zahl , für die die unendliche Zahlenfolge mit keine Primzahlen enthält.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1956 bewies Hans Riesel, dass es unendlich viele ganze Zahlen gibt, so dass nicht prim, also zusammengesetzt ist für alle positiven ganzen Zahlen .[6]

Die folgenden Zahlen sind bekannte Riesel-Zahlen :

509203, 762701, 777149, 790841, 992077, … (Folge A101036 in OEIS)

Ist eine der oberen Zahlen, so ist für alle zusammengesetzt. Man erhält niemals eine Primzahl.

Gegenbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zahl ist keine Riesel-Zahl, da in der Folge wenigstens eine Primzahl auftritt: 45, 91, 183, 367

Die kleinste Riesel-Zahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Riesel selbst fand 1956 mit 509.203 eine Riesel-Zahl. Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob 509.203 die kleinste Riesel-Zahl ist. Um dies zu beweisen, muss man noch die folgenden 50 Zahlen kontrollieren, ob sie Riesel-Zahlen sind oder nicht[7]:

2293, 9221, 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 93839, 97139, 107347, 121889, 129007, 143047, 146561, 161669, 192971, 206039, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 273809, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557 und 494743

Es würde ausreichen, wenn man zu jeder der obigen Zahlen wenigstens ein einziges finden würde, sodass eine Primzahl ist. Dann würde diese Zahl k als Kandidat für die kleinste Riesel-Zahl ausscheiden.

Brier-Zahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Eric Brier wurde nach positiven ganzen Zahlen k gesucht, die gleichzeitig Sierpinski- und Riesel-Zahl sind, d.h.

und

sind für alle n stets zusammengesetzt. Derartige Zahlen heißen Brier-Zahlen.

Die erste 1998 gefundene Brier-Zahl ist die 41-stellige

k = 29364695660123543278115025405114452910889

Yves Gallot ermittelte 2000 eine 27-stellige Brier-Zahl

k = 878503122374924101526292469

2007 fanden Michael Filaseta, Carrie Finch und Mark Kozek die damals kleinste bekannte 24-stellige Brier-Zahl

k = 143665583045350793098657

Mittlerweile kennt man noch kleinere, aber immer noch mindestens 22-stellige Brier-Zahlen:

3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, … (Folge A076335 in OEIS)

Duales Sierpiński-Problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine duale Sierpiński-Zahl ist eine ungerade natürliche Zahl , für die für alle natürlichen Zahlen zusammengesetzt sind (man erhält also niemals eine Primzahl). Es gibt eine Vermutung, dass die Menge dieser dualen Sierpiński-Zahlen k ident ist zur Menge der Sierpiński-Zahlen. Dies zu beweisen ist das duale Sierpiński-Problem.

Die zweite Vermutung, nämlich dass k=78557 die kleinste duale Sierpiński-Zahl ist, konnte schon bewiesen werden. Das bedeutet, dass für alle natürlichen Zahlen n zusammengesetzt ist. Gleichzeitig dürfte k=78557 aber auch die kleinste Sierpiński-Zahl sein (siehe Sierpinski-Problem).

Es gibt also kein k, welches kleiner als 78557 ist, für welches niemals eine Primzahl ergibt. Dieser Beweis gelang wie schon beim noch laufenden Internet-Projekt Seventeen or Bust durch die Brute-Force-Methode, indem man für jedes k so lange ein geeignetes n sucht, bis man eines gefunden hat, für welches eine Primzahl ergibt. Dieses Internet-Projekt mit dem Namen Five or Bust[8] hat somit seinen Zweck erfüllt und aus einer Vermutung eine Gewissheit gemacht (der Name kommt von fünf k, die damals noch zu keiner bekannten Primzahl geführt haben). Jedenfalls brachte auch dieser Beweis einige sehr große Primzahlen zu Tage. Die fünf k, von denen man vor dem Projekt keine Primzahlen gekannt hat, lauteten:

k=2131, 28433, 40291, 41693 und 75353

Bei k=2131 erhält man erst bei n=4583176 eine Primzahl, das heißt, dass die kleinste Primzahl ist, die in der Folge vorkommt. Weitere hohe Primzahlen erhält man für k=40291 und k=41693, nämlich n=9092392 bzw. n= 5146295 (somit sind und Primzahlen). Gleichzeitig erhält man aber für diese drei k sehr schnell Primzahlen der Form , nämlich , und . Für das eigentliche Sierpiński-Problem machen diese drei k also keinerlei Schwierigkeiten. Umgekehrt kennt man zum Beispiel für k=21181 noch kein geeignetes n, sodass eine Primzahl ergibt (es ist eines der fünf Problemfälle beim Projekt Seventeen or Bust). Beim dualen Sierpiński-Problem macht dieses k aber kein Problem, denn schon für n=28 erhält man die Primzahl .

In einer Tabelle zusammengefasst erkennt man die jeweils sechs größten Primzahlen beim Sierpiński-Problem und beim dualen Sierpiński-Problem bis zu k=78557:

Sierpiński-Problem duales Sierpiński-Problem
k n Stellen von k·2n+1 n Stellen von 2n+k
2.131 44 17 4583176 1379674
8.543 5793 1748 1191375 358640
10.223 31172165 9383761 19 6
21.181 unbekannt, sehr groß 28 9
22.699 unbekannt, sehr groß 26 8
24.737 unbekannt, sehr groß 17 6
28.433 7830457 2357207 2249255 677094
40.291 8 8 9092392 2737083
41.693 33 15 5146295 1549190
55.459 unbekannt, sehr groß 14 5
67.607 unbekannt, sehr groß 46549 14013
75.353 1 6 1518191 457022

Die kleinsten , für die erstmals eine Primzahl ergibt (wobei ungerade ist) verrät die folgende Liste:

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 8, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 7, 2, 1, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 7, 4, 5, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 10, 3, 3, 2, 1, 1, ... (Folge A067760 in OEIS)

Wie man erkennen kann, sind die Hochzahlen n, die zu einem gegebenen k erstmals eine auf eine Primzahl führen, meistens sehr klein. In den meisten Fällen ist tatsächlich n<k. Es existieren lediglich einige wenige Fälle, bei denen man zu einem gegebenen k ein sehr hohes n benötigt, um erstmals eine Primzahl zu finden. Die folgende Liste gibt alle 28 existierenden k bis inklusive 78557 an, die ein dementsprechend hohes n benötigen, damit eine Primzahl ergibt (oder, wie im Fall k=78557, keine Primzahl existiert) und für welches auch n>k gilt. (eine umgekehrte Argumentation lautet: zu folgenden ungeraden k ist die Zahl für alle n<k immer zusammengesetzt):

773, 2131, 2491, 4471, 5101, 7013, 8543, 10711, 14717, 17659, 19081, 19249, 20273, 21661, 22193, 28433, 35461, 37967, 39079, 40291, 41693, 48527, 60443, 60451, 60947, 64133, 75353, 78557 (Folge A033919 in OEIS)

Gerades Sierpiński-Problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Gegensatz zum ursprünglichen Sierpiński-Problem, bei dem eine natürliche, ungerade Zahl sein muss, ist beim geraden Sierpiński-Problem das eine natürliche gerade Zahl. Wieder stellt sich die Frage, ob es bis kein gerades gibt, welches eine Sierpiński-Zahl ist [9].

Im Gegensatz zum ursprünglichen Sierpiński-Problem kann man diesmal gleich von vornherein viele gerade ausschließen. Wenn man zum Beispiel wegen der Untersuchung der vom Sierpiński-Problem weiß, dass eine Primzahl ist, kann man daraus sofort folgern, dass auch eine Primzahl ist und man kann somit sofort aus der Liste der potentiellen geraden Sierpiński-Zahlen streichen. Ebenso ist und eine Primzahl und somit scheidet auch und sofort als gerader Sierpiński-Kandidat aus, ohne dass man eine besondere Rechnung angestellt haben muss.

Es gibt aber auch gerade , bei denen man mit der sonst üblichen Brute-Force-Methode arbeiten muss. Zum Beispiel stößt man bei der Lösung des ursprünglichen Sierpiński-Problems auf die Primzahl . In diesem Fall kann man aber leider keine 2 herausheben, sodass man über eine Aussage treffen könnte. Somit muss man für dieses mit roher Rechengewalt eine Primzahl finden. Hat man aber eine gefunden, in diesem Fall , so kann man wieder weitere ausschließen. In diesem Fall und .

Momentan gibt es für das gerade Sierpiński-Problem 4 Zahlen, für die man noch nicht ausschließen kann, dass sie Sierpiński-Zahlen sind:

42362, 45398, 49474, 65536

Drei dieser vier Zahlen sind eng verwandt mit den 5 Problemfällen vom ursprünglichen Sierpiński-Problem (21181, 22699, 24737, 55459 und 67607). Wenn man zum Beispiel für irgendwann einmal eine Primzahl der Form finden wird (mit einem sehr hohen ), kann man sofort daraus schließen, dass ebenfalls eine Primzahl ist und schon hätte das gerade Sierpiński-Problem nur noch 3 Problemfälle. Analog kann man aus einer noch zu findenden Primzahl der Form sofort folgern, dass auch eine Primzahl ist (nämlich die gleiche). Weiters wäre die noch unentdeckte Primzahl der Form eine Lösung, die aus der Liste der obigen 4 Zahlen nur noch einen einzigen Problemfall übrig lassen würden: .

Es stellt sich die Frage, ob jemals eine Primzahl werden kann. Es ist und somit hätte diese gesuchte Primzahl die Form mit . Primzahlen der Form sind aber Fermatsche Primzahlen und von diesen sind momentan nur fünf bekannt, nämlich 3, 5, 17, 257 und 65537. Pierre de Fermat vermutete zwar, dass es unendlich viele solche Fermatschen Primzahlen gibt, mittlerweile wird aber vermutet, dass es nur diese fünf Primzahlen von dieser Form gibt. Wenn es wirklich noch weitere Fermatsche Primzahlen gibt, so muss diese Zahl mindestens sein und somit mindestens 2.585.827.973 Stellen haben (diese Fermat-Zahl ist tatsächlich die kleinste Zahl der Form , die eine Primzahl sein könnte, von der man es aber noch nicht weiss). Die größte bekannte Primzahl hat im Moment aber lediglich 22.338.618 Stellen (eine Mersenne-Primzahl, Stand: 7. Januar 2016), welches gerade einmal 0,86 % der Stellen sind, die besitzt. Man ist also noch meilenweit von der Primzahlbestimmung von so riesigen Zahlen entfernt. Für das gerade Sierpiński-Problem bedeutet das aber, dass man für die Zahl in absehbarer Zeit keine Primzahl finden wird. Möglicherweise gibt es auch tatsächlich keine Primzahl für dieses . Dies würde aber bedeuten, dass die erste gerade (und insgesamt auch kleinste) Sierpiński-Zahl wäre.

Duales Riesel-Problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine duale Riesel-Zahl ist eine ungerade natürliche Zahl , für die für alle natürlichen Zahlen zusammengesetzt sind (man erhält also niemals eine Primzahl). Es gibt eine Vermutung, dass die Menge dieser dualen Riesel-Zahlen ident ist zur Menge der Riesel-Zahlen. Dies zu beweisen ist das duale Riesel-Problem.

Es gibt eine zweite Vermutung, die allerdings aus der obigen Vermutung resultiert, nämlich dass die kleinste duale Riesel-Zahl ist. Das bedeutet, dass für alle natürlichen Zahlen zusammengesetzt ist. Gleichzeitig dürfte aber auch die kleinste Riesel-Zahl sein (siehe Riesel-Problem).

Die Bedingung verrät, dass man das Problem auf zweierlei Arten angehen kann. Man stößt bei der Suche nach Primzahlen der Form auch auf negative Zahlen, wenn ist. Dieser Sachverhalt kann erlaubt sein, muss aber nicht erlaubt sein. Deswegen spaltet sich das duale Riesel-Problem in zwei Fälle auf.

Fall 1: 2n-k<0 ist erlaubt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dann stößt man bei der Suche nach Primzahlen der Form auch auf negative Zahlen, deren Beträge Primzahlen sind. In diesem Fall ist dann .

Unter diesen Voraussetzungen gibt es noch viele , für welche man noch kein geeignetes kennt, sodass eine Primzahl ergibt. Die kleinste davon ist .

Ungerade natürliche Zahlen mit , für welche immer zusammengesetzte Zahlen ergeben (also niemals Primzahlen sind), nennt man de Polignac-Zahlen (eine dazu äquivalente Definition lautet: eine de Polignac-Zahl ist eine ungerade Zahl, die nicht die Form mit hat [10]). Die ersten paar solcher Zahlen verrät die folgende Liste:

1, 127, 149, 251, 331, 337, 373, 509, 599, 701, 757, 809, 877, 905, 907, 959, 977, 997, 1019, 1087, 1199, 1207, 1211, 1243, 1259, 1271, 1477, ... (Folge A006285 in OEIS)

Fall 2: 2n-k<0 ist nicht erlaubt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dann darf man bei der Suche nach Primzahlen der Form nicht auf negative Zahlen stoßen. In diesem Fall ist dann .

Die kleinsten , für die erstmals eine Primzahl ergibt, verrät die folgende Liste (aufsteigend für ungerade k=1, 3, 5, 7, 9,…):

2, 3, 3, 39, 4, 4, 4, 5, 6, 5, 5, 6, 5, 5, 5, 7, 6, 6, 11, 7, 6, 29, 6, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 6, 6, 8, 8, 7, 7, 10, 9, 7, 8, 9, 7, 8, 7, 7, 8, 7, 8, 10, 7, 7, 26, 9, 7, 8, 7, 7, 10, 7, 7, 8, 7, 7, 7, 47, 8, 14, 9, 11, 10, 9, 10, 8, 9, 8, 8, ... (Folge A096502 in OEIS)

Die ersten , für welche man noch kein geeignetes kennt, sodass eine Primzahl ergibt, lauten:

1871, 2293, 25229, 31511, 36971, 47107, 48959, 50171, 56351, 63431, 69427, 75989, 81253, 83381, 84491, 107857, 109649, 118567, 128263, 132217, 134557, 134579, 138847, 144337, 148091, 149797, 150179, 150641, 158369, 170531, 175709, 183313, 191759, ... (Folge A216189 in OEIS)

Gerades Riesel-Problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim geraden Riesel-Problem muss eine gerade natürliche Zahl sein. Es stellt sich die Frage, ob es ein gerades gibt, welches eine Riesel-Zahl ist (für das also alle Zahlen der Form immer zusammengesetzte Zahlen, also niemals Primzahlen, sind) [11].

Wie schon beim geraden Sierpiński-Problem kann man gleich von vornherein viele gerade ausschließen. Zum Beispiel weiß man wegen der Untersuchung der vom Riesel-Problem, dass eine Primzahl ist und somit als Riesel-Zahl nicht in Frage kommt. Aus dieser Tatsache kann man aber sofort folgern, dass auch und und und so fort, Primzahlen sind, die somit für das gerade Riesel-Problem als potentielle gerade Riesel-Zahlen ausfallen. Wegen dieses einen erfolgreich ausgeschlossenen kann man also sofort, ohne längere Rechnung, elf Werte für , nämlich k=238, 476, 952, 1904, 3808, 7616, 15232, 30464, 60928, 121856 und 243712 ausschließen. Erst bei kann man keine 2 mehr herausheben, da man sonst erhalten würde, wobei aber 0 als Hochzahl weder beim Sierpiński- noch beim Riesel-Problem erlaubt ist. Der Wert kann erst durch die Primzahl als gerade Riesel-Zahl ausgeschlossen werden. Diesmal wieder durch die Brute-Force-Methode, also durch Ausnützung der rohen Rechengewalt eines Computers, der alle möglichen Werte so lange durchprobiert, bis er eine Primzahl gefunden hat. Auch aus ungeraden , die zu sehr niedrigen Primzahlen geführt haben, wie zum Beispiel kann man keine weiteren geraden herausrechnen. Somit muss man auch für Vielfache von 69, also zuallererst für eine geeignete Primzahl finden. Ist diese gefunden, in diesem Fall , so kann man wieder höhere ausschließen. In diesem Fall und . Dann ist man wieder bei angelangt und muss für wieder eine neue Berechnung mit der Brute-Force-Methode beginnen.

In der Praxis sind aber die Computer heutzutage so schnell, dass man sich obige Überlegungen ersparen kann. Binnen weniger Stunden ist es möglich, mit einem geeigneten Mathematik-Programm alle als potentielle gerade Riesel-Kandidaten auszuschließen, die eine Hochzahl zwischen und haben. Der untersten Tabelle kann man entnehmen, dass damit schon 254233 wegfallen, also keine geraden Riesel-Zahlen sein können. Erst ab Hochzahlen benötigt man, je nach Rechenleistung, ein paar Tage bis Jahre.

Der unteren Tabelle kann man entnehmen, dass mit höheren Hochzahlen schon die meisten ausgeschlossen werden konnten. Insgesamt bleiben 53 verschiedene übrig, für die noch kein gefunden werden konnte, sodass eine Primzahl ist. 51 dieser 53 Zahlen sind die folgenden (Stand: 16. Februar 2016):

4586, 9172, 18344, 18442, 36688, 36884, 47338, 63718, 73376, 73768, 76946, 93326, 94676, 127436, 134234, 146752, 147536, 149398, 153892, 162082, 186652, 187678, 189352, 194278, 214694, 243778, 254872, 258014, 268468, 286094, 293122, 293504, 295072, 298796, 307784, 323338, 324164, 373304, 375356, 378704, 385942, 388556, 412078, 412462, 429388, 430886, 452306, 468686, 487556, 491122, 500054

Für diese wird man erst dann geeignete finden, wenn man für das ursprüngliche Riesel-Problem für gewisse im Moment noch problematische geeignete gefunden hat. Zum Beispiel kennt man für noch kein , sodass eine Primzahl ergibt. Deswegen ist auch in der Liste der noch zu erledigenden im Abschnitt Riesel-Zahl enthalten. Hat man aber irgendwann einmal ein geeignetes gefunden, für welches prim ist, dann wird dieses sehr groß sein. Dann ist aber auch eine Primzahl (nämlich dieselbe) und man kann aus der obigen Liste sofort, ohne eine besondere Rechnung angestellt zu haben, eliminieren. Ebenso kann man mit derselben Argumentation auch sofort die Werte k=9172, 18344, 36688, 73376, 146752 und 293504 eliminieren. Insgesamt wären sofort 7 Werte aus obiger Liste zu entfernen, wenn man irgendwann für eine geeignete Primzahl findet. Ebenso kann man für alle oben genannten 51 Werte Primzahlen finden. Man muss nur beim ursprünglichen Riesel-Problem die problematischen eliminieren, also geeignete Primzahlen der Form finden.

Übrig bleiben nur noch 2 Werte für , die man separat untersuchen muss. Diese lauten[12] (Stand: 1. April 2008):

351134, 478214

Für diese sind noch keine Primzahlen der Form bekannt. Wenn man zum Beispiel betrachtet, kann man feststellen, dass man eine Primzahl der Form benötigt. Beim ursprünglichen Riesel-Problem macht auch tatsächlich kein Problem, zumal eine Primzahl ergibt. Nur leider kann man bei dieser Primzahl nicht herausheben, denn dann würde man erhalten. Für das Riesel-Problem ist eine Hochzahl 0 aber nicht erlaubt. Somit muss man eine größere Primzahl für suchen, damit man auch für eine geeignete findet. Und so eine größere Primzahl ist eben im Moment noch nicht bekannt, obwohl man schon bis gesucht hat [12]. Analog verhält es sich mit dem anderen Wert . In diesem Fall ist die momentan einzige bekannte Primzahl, wobei aber nicht erlaubt ist. In diesem Fall hat man schon bis ergebnislos gesucht [12].

Das gerade Riesel-Problem ist also noch längst nicht gelöst. Es könnte durchaus sein, dass man ein gerades finden wird, für welches niemals eine Primzahl ist. Dann hätte man eine gerade Riesel-Zahl gefunden, die kleiner als 509203 ist. Es wird aber davon ausgegangen, dass es keine solche Zahl gibt.

Wie schnell findet man eine Primzahl für ein gegebenes k[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die meisten findet man sehr schnell geeignete , sodass bzw. eine Primzahl ergibt. Um zu erkennen, wie schnell man eine Zahl zu einem gegebenen findet, sodass man erstmals eine Primzahl der jeweiligen Form erhält, definiert man als die Anzahl der , für welche der Exponent im Intervall liegt. Die folgende Tabelle zeigt, wie schnell man die ausschließen kann. In der Tabelle werden folgende Variablen verwendet:

… kleinste Hochzahl, bei der man erstmals eine Primzahl der gegebenen Form erhält

… maximale Anzahl der Stellen von

… Anzahl der , für welche man im Intervall erstmals eine Primzahl findet

Sierpiński-
Problem[4]
primes
Sierpiński-
Problem[4]
erweitertes
Sierpiński-
Problem[4]
gerades
Sierpiński-
Problem[13]
duales
Sierpiński-
Problem
Riesel-
Problem[7]
gerades
Riesel-
Problem
duales
Riesel-
Problem
2n<k
duales
Riesel-
Problem
2n>k
m n x fm fm fm’’ fm fm fm fm fm fm
0 1 1 7238 1667 13491 7205 7707 39867 39980 42226 0
1 2 ≤ n ≤ 3 1 10194 2804 19709 10166 11622 59460 59474 66788 3
2 4 ≤ n ≤ 7 3 9582 3635 19803 9703 11091 62311 62112 71954 42
3 8 ≤ n ≤ 15 5 6272 3242 13909 6204 6161 45177 44869 48639 6220
4 16 ≤ n ≤ 31 10 3045 2140 7193 3052 1764 24478 24477 17286 199858
5 32 ≤ n ≤ 63 19 1445 1145 3197 1437 463 11668 11997 4031 33537
6 64 ≤ n ≤ 127 39 685 605 1451 629 202 5360 5459 1558 8166
7 128 ≤ n ≤ 255 77 331 322 656 351 92 2728 2671 785 3205
8 256 ≤ n ≤ 511 154 195 159 364 227 57 1337 1277 447 1449
9 512 ≤ n ≤ 1023 308 114 106 162 122 26 785 830 247 735
10 1024 ≤ n ≤ 2047 617 47 59 99 55 28 467 488 181 465
11 2048 ≤ n ≤ 4095 1233 34 45 67 38 18 289 275 131 278
12 4096 ≤ n ≤ 8191 2466 26 23 42 30 11 191 184 72 169
13 8192 ≤ n ≤ 16383 4932 11 17 30 7 4 125 140 45 108
14 16384 ≤ n ≤ 32767 9864 18 12 23 10 8 87 91 43 83
15 32768 ≤ n ≤ 65535 19729 12 5 14 18 6 62 59 ≤168 ≤283
16 65536 ≤ n ≤ 131071 39457 5 12 9 4 5 38 36 ≤168 ≤283
17 131072 ≤ n ≤ 262143 78913 5 5 3 1 3 35 45 ≤168 ≤283
18 262144 ≤ n ≤ 524287 157827 2 5 8 1 2 25 27 ≤168 ≤283
19 524288 ≤ n ≤ 1048575 315653 3 6 6 0 2 22 29 ≤168 ≤283
20 1048576 ≤ n ≤ 2097151 631306 2 3 3 0 2 18 9 ≤168 ≤283
21 2097152 ≤ n ≤ 4194303 1262612 1 1 5 4 1 13 14 ≤168 ≤283
22 4194304 ≤ n ≤ 8388607 2525223 3 2 1 5 2 8 5 ≤168 ≤283
23 8388608 ≤ n ≤ 16777215 5050445 2 1 ≤11 3 1 ≤50 ≤53 ≤168 ≤283
>23 16777216 ≤ n >5050445 6 8 ≤11 6 0 ≤50 ≤53 ≤168 ≤283
Summe: 39278 16029 80256 39278 39278 254601 254601 254601 254601

Sierpiński-Zahlen zur Basis b[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Sierpiński-Zahl zur Basis b ist eine natürliche Zahl , sodass für alle eine zusammengesetzte Zahl ergibt. Es darf also niemals eine Primzahl herauskommen.

Für erhält man die klassischen Sierpiński-Zahlen, die weiter oben vorgestellt wurden.

Allerdings ist die Situation nicht mehr ganz so einfach wie bei den klassischen Sierpiński-Zahlen. Denn wenn man zum Beispiel wählt, kann man recht schnell erkennen, dass jedes ungerade eine Sierpiński-Zahl zur Basis 3 wäre, weil jede Zahl der Form gerade und somit immer durch 2 teilbar ist und folglich niemals eine Primzahl ergibt (jede Potenz von 3 ist wieder ungerade, multipliziert mit einer ungeraden Zahl bleibt sie ungerade, und wegen +1 wird sie gerade). Um diese trivialen Fälle für potentiell interessante Sierpiński-Zahlen zur Basis b auszuschließen, muss man somit noch gewisse Vorkehrungen treffen, damit nur wirklich interessante, nichttriviale als Sierpiński-Zahlen zur Basis b in Frage kommen.

Bedingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die zusätzliche Bedingung für nichttriviale Sierpiński-Zahlen zur Basis b, sodass nicht eine einzelne Primzahl alle Zahlen der Form teilt, ist die folgende:

Es muss also der größte gemeinsamer Teiler von und gleich sein.

Beweis der Bedingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Beweis[14] funktioniert direkt.

Zuerst wird gezeigt, dass wenn eine Primzahl jedes für alle teilt, gelten muss:

teilt und somit ist .

Angenommen, eine Primzahl teilt für alle . Dann teilt auch und . Wenn aber sowohl als auch teilt, dann teilt auch die Differenz dieser beider Terme, nämlich . Somit muss auch oder teilen. Da schon teilt, kann nicht gleichzeitig teilen, also ist ein Teiler von . Weil somit also ein Teiler von und sein muss, teilt auch den . Also ist .

Umgekehrt wird nun gezeigt, dass wenn ein Teiler von ist, daraus gefolgert werden kann, dass auch ein Teiler von für alle sein muss.

Sei also ein Teiler von . Dann kann man mit den Rechenregeln der Kongruenz zeigen, dass gilt: und und somit gilt:

Somit ist ein Teiler von .

Insgesamt wurde also gezeigt, dass die Zahlen für alle genau dann teilt, wenn ein Teiler von ist. Der Beweis ist vollendet.

Tabelle der Sierpiński-Zahlen zur Basis b[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um den trivialen Fall auszuschließen, bei dem lediglich eine einzige (Prim-)Zahl alle Zahlen der Form mit teilt und somit schon eine gesuchte Sierpiński-Zahl zur Basis b ist, muss zusätzlich die Bedingung gefordert werden.

Nun kann man natürlich die Basis beliebig hoch werden lassen. Untersucht werden momentan aber „nur“ Basen bis . Es folgt eine Tabelle mit dem momentanen Wissensstand (Stand: 13. November 2017) für Basen bis :[15][16]

b vermutete kleinste
Sierpiński-Zahl k
Problemfälle k, für die man noch keine Primzahlen kennt,
die kleiner als die vermutete kleinste Sierpiński-Zahl k
und keine Vielfachen von ebenfalls unbekannten Problemfällen sind;
in Klammern sind ausgewählte Problemfälle, die Vielfache von anderen Problemfällen sind
größte so gefundene Primzahl
2 78557 21181, 22699, 24737, 55459, 65536, 67607
(insgesamt 6 Problemfälle)
10223·231172165+1
3 125050976086 6363484, 8911036, 12663902, 14138648, 14922034, 18302632, 21497746, 23896396, 24019448, 24677704, 33224138, 33381178, 35821276, 37063498, 39431872, 46891088, 47628292,…
(diese 17 und noch 151902 weitere bis k ≤ 17.000.000.000, 100.000.000.000 ≤ k ≤ 104.000.000.000 und ab k ≥ 120.000.000.000, also in diesen beiden Intervallen insgesamt 151919 Problemfälle)
608558012·3498094+1
4 66741 18534, 21181, 22699, 49474, 55459, 64494, 65536
(insgesamt 7 Problemfälle)
20446·415586082+1
5 159986 6436, 7528, 10918, 26798, 29914, 31712, 36412, 41738, 44348, 44738, 45748, 51208, 58642, 60394, 62698, 64258, 67612, 67748, 71492, 74632, 76724, 81556, 83936, 84284, 90056, 92906, 93484, 105464, 118568, 126134, 138514, 139196, 152588
(insgesamt 33 Problemfälle)
92158·52145024+1
6 174308 1296, 13215, 14505, 50252, 76441, 87800, 97131, 112783, 124125, 127688, 166753, 168610
(insgesamt 12 Problemfälle)
139413·61279992+1
7 1112646039348 987144, 1613796, 1911142, 2052426, 2471044, 3778846, 4023946, 4300896, 4369704, 4455408, 4723986, 4783794, 4810884, 6551056, 7115518, 7248984, 8186656, 8566504, 9230674, 9284172, 9566736,…
(diese 21 und noch 710 weitere bis k ≤ 50000000, also bis dahin insgesamt 731 Problemfälle)
1952376·7293352+1
8 1 keine Problemfälle mehr keine
9 2344 2036 1846·965376+1
10 9175 100, 7666 5028·1083982+1
11 1490 keine Problemfälle mehr 958·11300544+1
12 521 12 404·12714558+1
13 132 keine Problemfälle mehr 48·136267+1
14 4 keine Problemfälle mehr 1·142+1
15 91218919470156 215432, 424074, 685812, 1936420, 2831648, 3100818, 3789018, 5074424, 5095268, 5311880, 5349258, 5382720, 5391260, 5437658, 5624046, 5624350, 5923260, 6022606, 6038592, 6079288, 6113172, 6201428, 6341914, 6438174, 6492284, 6729940, 6741008, 7370892, 7567724, 7759144, 7858272, 7976572, 8029172, 8340272, 8347462, 8371008, 8410850, 8446312, 8495324, 8592272, 8718584, 9051940, 9174358, 9189710, 9307436, 9352744, 9562550, 9564418, 9720238,…
(diese 49 und noch 822 weitere bis k<100000000, also bis dahin 871 Problemfälle)
3859132·15195563+1
16 2500 keine Problemfälle mehr 2158·1610905+1
17 278 244 262·17186768+1
18 398 18 122·18292318+1
19 765174 1446, 2526, 2716, 3714, 4506, 4614, 6796, 10776, 14556, 15394, 15396, 15616, 16246, 17596, 19014, 19906, 20326, 20364, 21696, 24754, 25474, 29746, 29896, 29956, 30196, 36534, 38356, 39126, 39276, 42934, 43986, 44106, 45216, 45846, 46174,…
(diese 35 und noch 536 weitere, also insgesamt 571 Problemfälle)
434674·19160755+1
20 8 keine Problemfälle mehr 6·2015+1
21 1002 keine Problemfälle mehr 118·2119849+1
22 6694 22, 5128 1611·22738988+1
23 182 keine Problemfälle mehr 68·23365239+1
24 30651 656, 1099, 1851, 1864, 2164, 2351, 2586, 3404, 3526, 3609, 3706, 3846, 4606, 4894, 5129, 5316, 5324, 5386, 5889, 5974, 7276, 7746, 7844, 8054, 8091, 8161, 8369, 9279, 9304, 9701, 9721, 10026, 10156, 10531, 11346, 12799, 12969, 12991, 13716, 13984, 15921, 17334, 17819, 17876, 18006, 18204, 18911, 19031, 19094, 20219, 20731, 21459, 21526, 22289, 22356, 22479, 23844, 23874, 23981, 24784, 25964, 26279, 26804, 27344, 28099, 29009, 29091, 29349, 29464, 29566, 29601
(insgesamt 71 Problemfälle)
28249·24257197+1
25 262638 222, 6436, 7528, 10918, 12864, 13548, 15588, 18576, 29914, 35970, 36412, 45330, 45748, 51208, 57240, 58434, 58642, 60394, 62698, 64258, 65610, 66678, 67612, 74632, 75666, 76896, 81186, 81556, 82962, 86334, 90240, 91038, 93378, 93484, 94212, 101958, 107472, 108720, 110304, 114516, 114726, 124164, 133990, 134172, 138514, 157548, 158560, 162756, 165270, 165504, 166620, 169324, 176916, 177022, 178972, 183028, 184414, 184456, 195016, 195144, 196236, 198840, 199174, 201382, 205906, 206982, 207544, 208690, 211860, 216282, 217140, 221304, 221740, 223690, 226992, 228982, 230998, 231328, 231390, 231906, 243108, 244438, 245010, 252468, 258942
(insgesamt 85 Problemfälle)
92158·251072512+1
26 221 65, 155 32·26318071+1
27 8 keine Problemfälle mehr 2·272+1
28 4554 871, 4552 3394·28427262+1
29 4 keine Problemfälle mehr 2·291+1
30 867 278, 588 699·3011837+1

Wie man erkennen kann, sind für gewisse Basen alle Problemfälle gelöst. Das bedeutet, dass die oben genannte Sierpiński-Zahl tatsächlich die kleinste Sierpiński-Zahl zu dieser Basis b ist und dass folglich alle Zahlen der Form für alle zusammengesetzte Zahlen sind. Im Folgenden werden die kleinsten Teiler für die schon bewiesenen und die noch vermuteten kleinsten Sierpiński-Zahlen angegeben:[15][16]

b bewiesene kleinste
Sierpiński-Zahl k
vermutete kleinste
Sierpiński-Zahl k
(kleinste) Teiler von
2 78557 hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5, 7, 13, 19, 37 oder 73
3 125.050.976.086 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 17, 19, 37, 41, 193 oder 757
4 66741 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 17 oder 241
5 159986 hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 13, 31 oder 601
6 174308 hat immer mindestens einen der Teiler 7, 13, 31, 37 oder 97
7 1.112.646.039.348 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13, 19, 43, 73, 181, 193 oder 1201
8 1
9 2344 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13 oder 73
10 9175 hat immer mindestens einen der Teiler 7, 11, 13 oder 37
11 1490 hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 19 oder 37
12 521 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13 oder 29
13 132 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7 oder 17
14 4 hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 5
15 91.218.919.470.156 hat immer mindestens einen der Teiler 13, 17, 113, 211, 241, 1489 oder 3877
16 2500
17 278 hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 29
18 398 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13 oder 19
19 765174 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 127 oder 769
20 8 hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 7
21 1002 hat immer mindestens einen der Teiler 11, 13 oder 17
22 6694 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 23 oder 97
23 182 hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 53
24 30651 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 73 oder 79
25 262638 hat immer mindestens einen der Teiler 7, 13, 31 oder 601
26 221 hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 19 oder 37
27 8
28 4554 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 29 oder 157
29 4 hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 5
30 867 hat immer mindestens einen der Teiler 7, 13, 19 oder 31

Es folgt noch eine Liste der vermuteten kleinsten Sierpiński-Zahlen zur Basis :

78557, 125050976086, 66741, 159986, 174308, 1112646039348, 1, 2344, 9175, 1490, 521, 132, 4, 91218919470156, 2500, 278, 398, 765174, 8, 1002, 6694, 182, 30651, 262638, 221, 8, 4554, 4, 867, 6360528, 1, 1854, 6, 214018, 1886, 2604, 14, 166134, 826477, 8, 13372, 2256, 4, 53474, 14992, 8, 1219, 2944, 16,… (Folge A123159 in OEIS)

Riesel-Zahlen zur Basis b[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Riesel-Zahl zur Basis b ist eine natürliche Zahl , sodass für alle eine zusammengesetzte Zahl ergibt. Es darf also niemals eine Primzahl herauskommen.

Für erhält man die klassischen Riesel-Zahlen, die weiter oben vorgestellt wurden.

Wie schon bei den Sierpiński-Zahlen zur Basis b ist auch die Situation bei Riesel-Zahlen zur Basis b nicht mehr ganz so einfach wie bei den klassischen Riesel-Zahlen. Denn wenn man wie vorher zum Beispiel wählt, kann man erkennen, dass jedes ungerade eine Riesel-Zahl zur Basis 3 wäre, weil jede Zahl der Form gerade und somit immer durch 2 teilbar ist und folglich niemals eine Primzahl ergibt (jede Potenz von 3 ist wieder ungerade, multipliziert mit einer ungeraden Zahl bleibt sie ungerade, und wegen −1 wird sie gerade). Um diese trivialen Fälle für potentiell interessantere Riesel-Zahlen zur Basis b auszuschließen, muss man somit wieder eine Vorkehrung treffen, damit nur wirklich interessante, nichttriviale als Riesel-Zahlen zur Basis b in Frage kommen.

Bedingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die zusätzliche Bedingung für nichttriviale Riesel-Zahlen zur Basis b, sodass nicht eine einzelne Primzahl alle Zahlen der Form teilt, ist die folgende:

Es muss also der größte gemeinsamer Teiler von und gleich sein.

Der Beweis dieser Bedingung funktioniert analog zum Beweis der Bedingung für Sierpiński-Zahlen zur Basis b.

Tabelle der Riesel-Zahlen zur Basis b[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um den trivialen Fall auszuschließen, bei dem lediglich eine einzige (Prim-)Zahl alle Zahlen der Form mit teilt und somit schon eine gesuchte Riesel-Zahl zur Basis b ist, muss zusätzlich die Bedingung gefordert werden.

Nun kann man wieder die Basis beliebig hoch werden lassen. Untersucht werden momentan aber wie schon bei Sierpiński-Zahlen „nur“ Basen bis . Es folgt eine Tabelle mit dem momentanen Wissensstand (Stand: 12. November 2017) für Basen bis :[17][18]

b vermutete kleinste
Riesel-Zahl k
Problemfälle k, für die man noch keine Primzahlen kennt,
die kleiner als die vermutete kleinste Riesel-Zahl k
und keine Vielfachen von ebenfalls unbekannten Problemfällen sind
größte so gefundene Primzahl
2 509203 2293, 9221, 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 93839, 97139, 107347, 121889, 129007, 143047, 146561, 161669, 192971, 206039, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 273809, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 351134, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 478214, 485557, 494743
(insgesamt 52 Problemfälle)
502573·27181987−1
3 63064644938 3677878, 6793112, 6878756, 10463066, 10691528, 10789522, 16874152, 18137648, 21368582, 24541466, 29140796, 31064666, 38394682, 40175404, 40396658, 51672206, 52072432,…
(diese 17 und noch 272390 weitere, also insgesamt 272407 Problemfälle)
854464516·3548007−1
4 9 keine Problemfälle mehr 8·41−1
5 346802 3622, 4906, 23906, 26222, 35248, 35816, 52922, 63838, 64598, 66916, 68132, 71146, 76354, 81134, 88444, 92936, 102818, 102952, 109238, 109838, 109862, 127174, 131848, 134266, 136804, 143632, 145462, 145484, 146264, 146756, 147844, 151042, 152428, 154844, 159388, 164852, 170386, 170908, 177742, 182398, 187916, 189766, 190334, 194368, 195872, 201778, 204394, 206894, 207494, 213988, 231674, 238694, 239062, 239342, 246238, 248546, 259072, 265702, 267298, 271162, 273662, 285598, 285728, 298442, 304004, 313126, 318278, 322498, 325922, 327926, 335414, 338866
(insgesamt 72 Problemfälle)
301562·52408646−1
6 84687 1597 36772·61723287−1
7 408034255082 315768, 1356018, 1620198, 2096676, 2494112, 2539898, 2631672, 3423408, 3531018, 3587876, 3885264, 4322834, 4326672, 4363418, 4382984, 4635222, 4780002, 4870566, 4990788,…
(diese 19 und noch 8372 weitere bis k < 500000000, also bis dahin insgesamt 8391 Problemfälle)
328226·7298243−1
8 14 keine Problemfälle mehr 11·818−1
9 4 keine Problemfälle mehr 2·91−1
10 10176 4421 7019·10881309−1
11 862 keine Problemfälle mehr 62·1126202−1
12 25 keine Problemfälle mehr 24·124−1
13 302 keine Problemfälle mehr 288·13109217−1
14 4 keine Problemfälle mehr 2·144−1
15 36370321851498 381714, 4242104, 4502952, 5237186, 5854146, 7256276, 8524154, 9105446, 9756404,…
(diese 9 und noch viele weitere ab k > 10000000)
9535278·15375675−1
16 9 keine Problemfälle mehr 8·161−1
17 86 keine Problemfälle mehr 44·176488−1
18 246 keine Problemfälle mehr 151·18418−1
19 144 keine Problemfälle mehr 134·19202−1
20 8 keine Problemfälle mehr 2·2010−1
21 560 keine Problemfälle mehr 64·212867−1
22 4461 3656 3104·22161188−1
23 476 404 194·23211140−1
24 4 keine Problemfälle mehr 3·241−1
25 36 keine Problemfälle mehr 32·254−1
26 149 keine Problemfälle mehr 115·26520277−1
27 8 keine Problemfälle mehr 6·272−1
28 144 keine Problemfälle mehr 107·2874−1
29 4 keine Problemfälle mehr 2·29136−1
30 1369 659, 1024 239·30337990−1

Auch in dieser Tabelle kann man erkennen, dass für gewisse Basen alle Problemfälle gelöst sind. Das bedeutet, dass die oben genannte Riesel-Zahl tatsächlich die kleinste Riesel-Zahl zu dieser Basis b ist und dass folglich alle Zahlen der Form für alle zusammengesetzte Zahlen sind. Im Folgenden werden die kleinsten Teiler für die schon bewiesenen und die noch vermuteten kleinsten Riesel-Zahlen angegeben:[17][18]

b bewiesene kleinste
Riesel-Zahl k
vermutete kleinste
Riesel-Zahl k
(kleinste) Teiler von
2 509203 hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5, 7, 13, 17 oder 241
3 63.064.644.938 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 17, 19, 37, 41, 193 oder 757
4 9
5 346802 hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 13, 31 oder 601
6 84687 hat immer mindestens einen der Teiler 7, 13, 31, 37 oder 97
7 408.034.255.082 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13, 19, 43, 73, 181, 193 oder 1201
8 14 hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 13
9 4
10 10176 hat immer mindestens einen der Teiler 7, 11, 13 oder 37
11 862 hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 19 oder 37
12 25 hat für ungerade n immer den Teiler 13
für gerade n
13 302 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7 oder 17
14 4 hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 5
15 36.370.321.851.498 hat immer mindestens einen der Teiler 13, 17, 113, 211, 241, 1489 oder 3877
16 9
17 86 hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 29
18 246 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13 oder 19
19 144 hat für ungerade n immer den Teiler 5
für gerade n
20 8 hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 7
21 560 hat immer mindestens einen der Teiler 11, 13 oder 17
22 4461 hat immer mindestens einen der Teiler 5, 23 oder 97
23 476 hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 53
24 4 hat für ungerade n immer den Teiler 5
für gerade n
25 36
26 149 hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 31 oder 37
27 8
28 144 hat für ungerade n immer den Teiler 29
für gerade n
29 4 hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 5
30 1369 hat für ungerade n immer mindestens einen der Teiler 7, 13 oder 19
für gerade n

Es folgt noch eine Liste der vermuteten kleinsten Riesel-Zahlen zur Basis :

509203, 63064644938, 9, 346802, 84687, 408034255082, 14, 4, 10176, 862, 25, 302, 4, 36370321851498, 9, 86, 246, 144, 8, 560, 4461, 476, 4, 36, 149, 8, 144, 4, 1369, 134718, 10, 16, 6, 287860, 4, 7772, 13, 4, 81, 8, 15137, 672, 4, 22564, 8177, 14, 3226, 36, 16,… (Folge A273987 in OEIS)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Beweis, dass k=78557 eine Sierpinski-Zahl ist (englisch). Abgerufen am 5. Dezember 2015.
  2. Chris K. Caldwell: Sierpinski number. The Prime Glossary, abgerufen am 1. September 2016 (englisch).
  3. Rytis Slatkevičius: Seventeen or Bust. Prime Grid, abgerufen am 14. November 2016 (englisch).
  4. a b c d e Wilfrid Keller: The Sierpiński Problem: Definition and Status. Prothsearch, abgerufen am 1. September 2016 (englisch, erweitertes Sierpiński-Problem).
  5. Rytis Slatkevičius: Welcome to the Extended Sierpinski Problem. PrimeGrid, abgerufen am 1. September 2016 (englisch, erweitertes Sierpiński-Problem).
  6. Chris K. Caldwell: Riesel number. The Prime Glossary, abgerufen am 1. September 2016 (englisch).
  7. a b Wilfrid Keller: The Riesel Problem: Definition and Status. Prothsearch, abgerufen am 1. September 2016 (englisch).
  8. Five or Bust. rechenkraft.net, abgerufen am 2. Januar 2016.
  9. Jean Pennè: Even k's and the Sierpinski conjecture. Mersenneforum, abgerufen am 30. Januar 2016 (englisch).
  10. Giovanni Resta: de Polignac numbers. Abgerufen am 31. Januar 2016.
  11. Jason „jasong“ Goatcher: Even k's and the Riesel conjecture. Mersenneforum, abgerufen am 17. Februar 2016 (englisch).
  12. a b c „kar_bon“: Even k's and the Riesel conjecture. Mersenneforum, abgerufen am 1. April 2008 (englisch).
  13. Jean Pennè: Index of Sierpeven. Abgerufen am 30. Januar 2016.
  14. Amy Brunner, Chris K.Caldwell, Daniel Krywaruczenko, Chris Lownsdale: Generalized Sierpinski numbers base b. University of Tennessee at Martin, S. 2, abgerufen am 25. März 2016 (PDF).
  15. a b Gary Barnes: Sierpinski conjectures and proofs. Abgerufen am 13. November 2017.
  16. a b Gary Barnes: Sierpinski conjectures and proofs, Powers of 2. Abgerufen am 5. November 2017.
  17. a b Gary Barnes: Riesel conjectures and proofs. Abgerufen am 12. November 2017.
  18. a b Gary Barnes: Riesel conjectures and proofs, Powers of 2. Abgerufen am 8. November 2017.