Signifikante Stellen

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Stellen einer Zahl werden signifikante Stellen (auch: geltende Stellen) genannt, wenn diese Zahl innerhalb der Grenzen der Abweichung der letzten dieser Stellen liegt.[1] Dazu zählen die aussagekräftigen Ziffern ohne führende Nullen. Ob endende Nullen signifikant sind, muss fallweise hinterfragt werden; durch geeignete Schreibweise soll hier für Klarheit gesorgt werden.

Die Signifikanz einer Zahl ist die Anzahl der signifikanten Stellen. Sie ist eine Angabe zur Genauigkeit.

Zahlenschreibweise im Zehnersystem[Bearbeiten]

Signifikante Stellen einer Zahl mit Nachkommastellen[Bearbeiten]

Als Nachkommastellen werden die in der dezimalen Darstellung einer Zahl verwendeten Ziffern rechts des Kommas bezeichnet.

Die Anzahl der Nachkommastellen ist zu unterscheiden von der Anzahl der signifikanten Stellen. Aber jede verantwortlich an die Zahl angehängte (nicht leichtfertig vom Taschenrechner übernommene) Nachkommastelle ist eine signifikante Stelle.

Beispiele für Stellen einer Zahl:

Zahl Signifikante Stellen Nachkommastellen
98,76 4 2
0,009 876 4 6

Signifikante Stellen einer ganzen Zahl[Bearbeiten]

Ganze Zahlen haben keine Nachkommastellen.

Schwieriger ist die Aussage zu den signifikanten Stellen: Besitzt „20“ eine, zwei oder sogar mehr signifikante Stellen? Je nach Zusammenhang ist eine Zahl exakt zu werten, wenn sie z. B. als natürliche Zahl verwendet wird; oder sie ist als gerundete Zahl zu werten, wenn sie als Zahlenwert zu einer physikalischen Größe verwendet wird.

Zu einer exakten Zahl stellt sich die Frage nach der Signifikanz nicht, da sie mit beliebig vielen Nachkomma-Nullen verlängert werden kann.

Um zu einer mittels Messtechnik ermittelten Größe beim Zahlenwert „20“ eine Mehrdeutigkeit zu vermeiden, soll man die wissenschaftliche Schreibweise mit Zehnerpotenz-Faktor wählen. Dadurch kann eine endende Null auf eine Nachkommastelle verschoben werden. Eine nicht signifikante Null wird weggelassen; durch das Schreiben der Null wird sie als signifikant gekennzeichnet:

  • eine signifikante Stelle: 2 · 101
  • zwei signifikante Stellen: 2,0 · 101
  • drei signifikante Stellen: 20,0 oder 2,00 · 101
Zahl Signifikante Stellen Nachkommastellen
9 876 000,00 · 10−2 9 2
9 876 000 ungeklärt: 4 bis 7 0
98 760 · 102 ungeklärt: 4 oder 5 0
987,6 · 104 4 1
9,876 · 106 4 3

Definition und Kommaregel[Bearbeiten]

DIN 1333 definiert die signifikanten Stellen als die erste von Null verschiedene Stelle bis zur Rundungsstelle. Diese ist die letzte Stelle, die nach dem Runden noch angegeben werden kann.

Die durch Rundung wegzulassenden Ziffern sollen nicht durch Nullen aufgefüllt werden. Durch Kommaverschiebung und Zehnerpotenz-Faktor ist die Rundungsstelle auf die Einerstelle oder eine Nachkommastelle zu verschieben, siehe auch Messwert.

In der Messtechnik kann die Kommastellung nicht nur durch den Zehnerpotenz-Faktor, sondern auch durch die Wahl der Einheit (z. B. bei Länge mm → cm → m → km) angepasst werden.

Beispiel: Wer eine Angabe 20 km in 20 000 m umschreibt, hat mit endenden Nullen aufgefüllt, die nicht signifikant sind. Falls die Länge doch bis auf wenige Meter genau angebbar ist, wäre zuvor 20,000 km zu schreiben (alle Stellen bis zur Rundungsstelle).

Ergebnis einer Rechnung[Bearbeiten]

Hier kommen erst einmal zwei Faustregeln; ein zuverlässigeres Verfahren folgt im nächsten Kapitel.

  • Das Ergebnis einer Addition/Subtraktion bekommt genauso viele Nachkommastellen wie die Zahl mit den wenigsten Nachkommastellen.
  • Das Ergebnis einer Multiplikation/Division bekommt genauso viele signifikante Stellen wie die Zahl mit den wenigsten signifikanten Stellen:
Zahlen Kleinste Zahl der
Nachkommastellen
Kleinste Zahl der
signifikanten Stellen
Ergebnis
20,567 + 0,0007 3 20,568
12 + 1,234 0 13
12,00 + 1,234 2 13,23
12,000 + 1,234 3 13,234
1,234 · 3,33 3 4,11
2,2 · 0,0442 2 0,097
28 · \scriptstyle\pi 2 88

Das Ergebnis ist ferner davon abhängig, ob eine der Zahlen exakt ist, und ob die Anzahl der Stellen vor oder nach der Rechnung fixiert wird:

  1. In der folgenden Tabelle im ersten Beispiel sei die 3 ein als exakt zu bewertender Parameter; die signifikanten Stellen ergeben sich aus dem Wert 1,234 im Sinne eines Messwertes.
  2. Im zweiten Beispiel sei die Zahl 1,234 ein Parameter; die signifikanten Stellen ergeben sich aus dem Wert 3, so dass es im Ergebnis auch nur eine signifikante Stelle gibt.
Zahlen Signifikante Stellen Ergebnis
3 · 1,234 4 3,702
1 3 (Vor der Rechnung: 1,234 ≈ 1)
4 (Nach der Rechnung: 3,702 ≈ 4)

Hinweise:

  • Eine Rundung sollte erst möglichst spät innerhalb des Rechnungsgangs durchgeführt werden. Sonst können sich mehrere Rundungsabweichungen zu einer größeren Gesamtabweichung zusammensetzen. Um diese Vergrößerung zu vermeiden, sollen in Zwischenrechnungen bekannte Größen mit mindestens einer Stelle mehr eingesetzt werden als im Ergebnis angegeben werden kann.
  • Wird ein Durchmesser eines Kreises auf Millimeter genau gemessen, und rechnet man den Umfang dabei mit einer möglichst genauen Annäherung an Pi, so kann der Umfang trotz der Rechnung mit einem vielleicht zehnstelligen Faktor wieder nur millimetergenau angegeben werden.
  • Wird eine Zeichnung etwa im Maßstab 10:1 vergrößert, und sind die Koordinaten auf ½ Millimeter genau gezeichnet, ist die Vergrößerung auf 5 Millimeter genau. Die Zahl der signifikanten Stellen der Koordinaten ändert sich nicht durch den als exakt angenommenen Maßstabsfaktor 10.

Signifikante Stellen in der Messtechnik[Bearbeiten]

Für die Messtechnik ist es immer die sicherste Methode, die Fehlergrenzen der Eingangsdaten zu beachten und ihre Auswirkungen auf das Ergebnis einer Rechnung zu bestimmen, siehe Fehlerfortpflanzung. Exakte Zahlen haben die Fehlergrenze null. Die Fehlergrenze des Ergebnisses liefert die Angabe, wie weit niederwertige Stellen signifikant sind.

Beispiel: Ein Kreisradius wird gemessen zu 17,5 cm. Gesucht wird der Umfang  U = 2\pi r. Im Gegensatz zu oben soll hier \pi nicht mit sehr vielen Nachkommastellen angegeben werden, sondern nur mit einer Signifikanz passend zur Signifikanz von r.

Exakt: 2 = 2{,}000 \cdot (1 \pm 0\,\%)
Gerundet: \pi = 3{,}14 \pm 0{,}005 = 3{,}14 \cdot (1 \pm 0{,}2\,\%)
Eine nach den kaufmännischen oder mathematischen Regeln gerundete Zahl kann auf der ersten weggeschnittenen Stelle um ±5 falsch sein.
Gemessen: r = \mathrm{17{,}5\,cm \pm 0{,}1\,cm = 17{,}5\,cm \cdot (1 \pm 0{,}6\,\%)}
Vom Messwert wird angenommen, dass die niederwertigste Stelle um ±1 falsch angegeben sein kann.
Rechnung:  U = 109{,}90\,\mathrm{cm \cdot (1 \pm (0 + 0{,}2 + 0{,}6)\,\%) = 109{,}90\,cm \pm 0{,}9\,cm}
Ergebnis: U = (110 \pm 1)\,\mathrm{cm}, etwas Genaueres lässt sich nicht angeben, denn in diesem Fall ist die erste Nachkommastelle mit ±9 bereits maximal ungewiss. Besser gibt man also an, dass die nächsthöhere Stelle um höchstens ±1 falsch sein kann: Das Ergebnis ist maximal zentimetergenau.
Oder anders ausgedrückt: Die endende Null auf der Einerstelle von 110 ist in diesem Fall signifikant. Um das deutlich zu machen, ohne die Fehlergrenzen mitzuschreiben, schreibt man besser  U = 1{,}10\,\mathrm{m} , weil die ausdrückliche Angabe der Nachkommastelle zeigt, dass sie in dieser Rechnung als signifikant ermittelt wurde.  U = 11{,}0\,\mathrm{dm} hätte denselben Zweck. Nicht geschrieben werden darf  U = 1100\,\mathrm{mm} oder  U = 1099\,\mathrm{mm} , da die endende Null oder endende Neun aufgrund der Fehlergrenze keine signifikante Stelle ist.
Selbst ein exakteres \pi hätte nur ein Ergebnis von  U = 109{,}96\,\mathrm{cm} \cdot (1 \pm 0{,}6\,\%) = 109{,}96\,\mathrm{cm} \pm 0{,}7\,\mathrm{cm} erbracht, die Signifikanz des Ergebnisses wäre dieselbe.

Dass in diesem Beispiel das Ergebnis nur zentimetergenau ist, obwohl die ursprüngliche Messung millimetergenau ausgeführt wurde, zeigt die Bedeutung der Stellensignifikanz für messtechnische Probleme: Weil das Ergebnis um grob eine Zehnerpotenz größer ist als die Angabe, und der Fall hier ungünstig liegt, verschiebt sich auch die Genauigkeit um eine Zehnerpotenz von Millimeter auf Zentimeter. Die Größenordnung der Genauigkeit bleibt während der multiplikativen Rechnung nur relativ zum jeweiligen Wert konstant, die millimetergenaue Messung garantiert kein millimetergenaues Ergebnis. In komplizierteren Rechnungen lässt sich die Genauigkeit über die Anzahl signifikanter Stellen nicht mehr abschätzen, aber nur eine korrekte Fehlerfortpflanzungsrechnung garantiert die Verlässlichkeit eines Ergebnisses. Die nachträglich ermittelte Stellensignifikanz repräsentiert dann das Ergebnis der Fehleranalyse.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. DIN EN ISO 80000-1, Kap. 7.3.4