Skalarmultiplikation

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Skalarmultiplikation in der euklidischen Ebene: der Vektor w wird mit der Zahl 2 multipliziert und der Vektor v mit der Zahl -1

Die Skalarmultiplikation, auch S-Multiplikation oder skalare Multiplikation genannt, ist eine äußere zweistellige Verknüpfung zwischen einem Skalar und einem Vektor, die in der Definition von Vektorräumen gefordert wird. Die Skalare sind dabei die Elemente des Körpers, über dem der Vektorraum definiert ist. Auch die analoge Verknüpfung bei Moduln wird Skalarmultiplikation genannt.

Das Ergebnis einer Skalarmultiplikation ist ein entsprechend skalierter Vektor. Im anschaulichen Fall euklidischer Vektorräume verlängert oder verkürzt die Skalarmultiplikation die Länge des Vektors um den angegebenen Faktor. Bei negativen Skalaren wird dabei zusätzlich die Richtung des Vektors umgekehrt. Eine spezielle Form einer solchen Skalierung ist die Normierung. Hierbei wird ein Vektor mit dem Kehrwert seiner Länge (allgemein seiner Norm) multipliziert, wodurch man einen Einheitsvektor mit Länge (oder Norm) eins erhält.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Vektorraum über dem Körper , dann ist die Skalarmultiplikation eine zweistellige Verknüpfung

,

die per Definition des Vektorraumes gemischt assoziativ und distributiv ist, also für alle Vektoren und alle Skalare folgende Eigenschaften erfüllt:

Zudem gilt die Neutralität des Einselements des Körpers:

  • .

Hierbei bezeichnet die Vektoraddition in sowie und jeweils die Addition und die Multiplikation im Körper . Häufig wird sowohl für die Vektoraddition, als auch für die Körperaddition das Pluszeichen und sowohl für die Skalarmultiplikation, als auch für die Körpermultiplikation das Malzeichen verwendet. Dieser Konvention wird auch aufgrund der einfacheren Lesbarkeit im weiteren Verlauf dieses Artikels gefolgt. Das Multiplikationssymbol wird oft auch weggelassen und man schreibt kurz statt und statt .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Neutralität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichnet das Nullelement des Körpers und den Nullvektor des Vektorraums, dann gilt für alle Vektoren

,

denn es gilt mit dem zweiten Distributivgesetz

und deswegen muss der Nullvektor sein. Entsprechend gilt für alle Skalare

,

denn es gilt mit dem ersten Distributivgesetz

und daher muss auch hier der Nullvektor sein. Insgesamt erhält man so

,

denn aus folgt entweder oder und dann , wobei das multiplikativ inverse Element zu ist.

Inverse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichnet nun das additiv inverse Element zum Einselement und den inversen Vektor zu , dann gilt

,

denn mit der Neutralität der Eins erhält man

und damit ist der inverse Vektor zu . Ist nun allgemein das additiv inverse Element zu , dann gilt

,

denn mit erhält man durch das gemischte Assoziativgesetz

sowie mit der Kommutativität der Multiplikation zweier Skalare

.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Koordinatenvektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Koordinatenraum und ein Koordinatenvektor, so wird die Multiplikation mit einem Skalar komponentenweise wie folgt definiert:

.

Bei der Skalarmultiplikation wird demnach jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert. Im dreidimensionalen euklidischen Raum erhält man beispielsweise

.

Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Matrizenraum und eine Matrix, so wird die Multiplikation mit einem Skalar ebenfalls komponentenweise definiert:

.

Bei der Skalarmultiplikation wird also wiederum jeder Eintrag der Matrix mit dem Skalar multipliziert. Beispielsweise erhält man für eine reelle -Matrix

.

Polynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Vektorraum der Polynome in der Variablen mit Koeffizienten aus einem Körper , so wird die Multiplikation eines Polynoms mit einem Skalar wiederum komponentenweise definiert:

.

Beispielsweise ergibt die Skalarmultiplikation der reellen Polynomfunktion mit der Zahl das Polynom

.

Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein linearer Funktionenraum und eine Funktion von einer nichtleeren Menge in einen Vektorraum , dann wird das Ergebnis der Skalarmultiplikation einer solchen Funktion mit einem Skalar definiert als die Funktion

.

Betrachtet man beispielsweise den Vektorraum der linearen reellen Funktionen der Form , dann erhält man durch Skalarmultiplikation mit einer reellen Zahl die Funktion

.

Durch die Skalarmultiplikation wird demnach jeder Funktionswert um den Faktor skaliert.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]