Skalarprodukt

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Dieser Artikel behandelt die Multiplikation zweier Vektoren, deren Ergebnis ein Skalar ist. Für die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren, deren Ergebnis ein Vektor ist, siehe Skalarmultiplikation.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren im Anschauungsraum hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab.

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt, selten Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Es ist Gegenstand der analytischen Geometrie und der linearen Algebra. Historisch wurde es zuerst im euklidischen Raum eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren und im dreidimensionalen Anschauungsraum nach der Formel

Dabei bezeichnen und jeweils die Längen (Beträge) der Vektoren. Mit wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels bezeichnet.

In einem kartesischen Koordinatensystem gilt

Kennt man die kartesischen Koordinaten der Vektoren, so kann man mit dieser Formel das Skalarprodukt und daraufhin mit der Formel aus dem vorhergehenden Abschnitt den Winkel zwischen den beiden Vektoren ausrechnen.

In der linearen Algebra wird dieses Konzept verallgemeinert. Ein Skalarprodukt ist dort eine Funktion, die zwei Elementen eines reellen oder komplexen Vektorraums einen Skalar zuordnet. Im Allgemeinen ist in einem Vektorraum von vornherein kein Skalarprodukt festgelegt. Ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als Innenproduktraum oder Prähilbertraum bezeichnet. Diese Vektorräume verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.

Im euklidischen Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geometrische Definition und Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum oder in der zweidimensionalen euklidischen Ebene kann man als Pfeile darstellen. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, denselben Vektor dar. Das Skalarprodukt zweier Vektoren und ist ein Skalar, das heißt eine reelle Zahl. Geometrisch lässt es sich wie folgt definieren:

Bezeichnen und die Längen der Vektoren und und bezeichnet den von und eingeschlossenen Winkel, so ist

Wie bei der normalen Multiplikation, aber seltener als dort, wird das Multiplikationszeichen manchmal auch weggelassen, wenn klar ist, was gemeint ist:

Statt schreibt man in diesem Fall gelegentlich auch

Andere übliche Notationen sind und

Veranschaulichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Orthogonale Projektion des Vektors auf die durch bestimmte Richtung

Um sich die Definition zu veranschaulichen, betrachtet man die orthogonale Projektion des Vektors auf die durch bestimmte Richtung und setzt

Es gilt dann und für das Skalarprodukt von und gilt:

Diese Beziehung wird manchmal auch zur Definition des Skalarprodukts verwendet.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In allen drei Beispielen gilt und . Die Skalarprodukte ergeben sich mithilfe der speziellen Kosinuswerte , bzw. :

In kartesischen Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Führt man in der euklidischen Ebene bzw. im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, so besitzt jeder Vektor eine Koordinatendarstellung als 2- bzw. 3-Tupel, das meist als Spalte geschrieben wird.

In der euklidischen Ebene erhält man dann für das Skalarprodukt der Vektoren

   und  

die Darstellung

Kanonische Einheitsvektoren in der euklidischen Ebene

Für die kanonischen Einheitsvektoren und gilt nämlich:

und

Daraus folgt (unter Vorwegnahme der weiter unten erläuterten Eigenschaften des Skalarproduktes):

Im dreidimensionalen euklidischen Raum erhält man entsprechend für die Vektoren

  und  

die Darstellung

Zum Beispiel berechnet sich das Skalarprodukt der beiden Vektoren

   und  

wie folgt:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der geometrischen Definition ergibt sich direkt:

  • Sind und parallel und gleichorientiert (), so gilt
  • Insbesondere ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge:
  • Sind und parallel und entgegengesetzt orientiert (), so gilt
  • Sind und orthogonal (), so gilt
  • Ist ein spitzer Winkel, so gilt
  • Ist ein stumpfer Winkel, so gilt

Als Funktion, die jedem geordneten Paar von Vektoren die reelle Zahl zuordnet, hat das Skalarprodukt folgende Eigenschaften, die man von einer Multiplikation erwartet:

  1. Es ist symmetrisch (Kommutativgesetz):
    für alle Vektoren und
  2. Es ist homogen in jedem Argument (gemischtes Assoziativgesetz):
    für alle Vektoren und und alle Skalare
  3. Es ist additiv in jedem Argument (Distributivgesetz):
    und
    für alle Vektoren und

Die Eigenschaften 2 und 3 fasst man auch zusammen zu: Das Skalarprodukt ist bilinear.

Die Bezeichnung "gemischtes Assoziativgesetz" für die 2. Eigenschaft verdeutlicht, dass dabei ein Skalar und zwei Vektoren so verknüpft werden, dass die Klammern wie beim Assoziativgesetz vertauscht werden können. Da das Skalarprodukt keine innere Verknüpfung ist, ist ein Skalarprodukt von drei Vektoren nicht definiert, daher stellt sich die Frage nach einer echten Assoziativität nicht. Im Ausdruck ist nur die erste Multiplikation ein Skalarprodukt von zwei Vektoren, die zweite ist das Produkt eines Skalars mit einem Vektor (S-Multiplikation). Der Ausdruck stellt einen Vektor dar, ein Vielfaches des Vektors Hingegen stellt der Ausdruck ein Vielfaches von dar. Im Allgemeinen gilt also

Weder die geometrische Definition noch die Definition in kartesischen Koordinaten ist willkürlich. Beide folgen aus der geometrisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge ist, und der algebraisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt die obigen Eigenschaften 1–3 erfüllt.

Betrag von Vektoren und eingeschlossener Winkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe des Skalarproduktes ist es möglich, aus der Koordinatendarstellung die Länge (den Betrag) eines Vektors zu berechnen:

Für einen Vektor des zweidimensionalen Raumes gilt

Man erkennt hier den Satz des Pythagoras wieder. Im dreidimensionalen Raum gilt entsprechend

Indem man die geometrische Definition mit der Koordinatendarstellung kombiniert, kann man aus den Koordinaten zweier Vektoren den von ihnen eingeschlossenen Winkel berechnen. Aus

folgt

Die Längen der beiden Vektoren

   und  

betragen also

und

Der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels berechnet sich zu

Somit ist

Orthogonalität und orthogonale Projektion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Orthogonalität und Orthogonalprojektion
Orthogonale Projektion des Vektors auf die durch bestimmte Richtung

Zwei Vektoren und sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist, also

Die orthogonale Projektion von auf die durch den Vektor gegebene Richtung ist der Vektor mit

also

Die Projektion ist der Vektor, dessen Endpunkt der Lotfußpunkt vom Endpunkt von auf die durch bestimmte Gerade durch den Nullpunkt ist. Der Vektor steht senkrecht auf

Ist ein Einheitsvektor (d. h. ist ), so vereinfacht sich die Formel zu

Bezug zum Kreuzprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine andere Art und Weise, zwei Vektoren und im dreidimensionalen Raum multiplikativ miteinander zu verknüpfen, ist das äußere Produkt oder Kreuzprodukt Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Resultat des Kreuzprodukts kein Skalar, sondern wieder ein Vektor. Dieser Vektor steht senkrecht auf der von den beiden Faktoren und aufgespannten Ebene und seine Länge entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen aufgespannt wird.

Für die Verbindung von Kreuz- und Skalarprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:[1]

Die Kombination aus Kreuzprodukt und Skalarprodukt der ersten beiden Regeln nennt man auch Spatprodukt; es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kosinussatz mit Vektoren

Das Skalarprodukt ermöglicht es, komplizierte Sätze, bei denen von Winkeln die Rede ist, einfach zu beweisen.

Behauptung: (Kosinussatz)

Beweis: Mit Hilfe der eingezeichneten Vektoren folgt (Die Richtung von ist unerheblich.) Quadrieren ergibt

und damit

In der Physik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel schiefe Ebene

In der Physik sind viele Größen, wie zum Beispiel die Arbeit , durch Skalarprodukte definiert:

mit den vektoriellen Größen Kraft und Weg . Dabei bezeichnet den Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges. Mit wird die Komponente der Kraft in Richtung des Weges bezeichnet, mit die Komponente des Weges in Richtung der Kraft.

Beispiel: Ein Wagen des Gewichts wird über eine schiefe Ebene von nach transportiert. Die Hubarbeit berechnet sich zu

In allgemeinen reellen und komplexen Vektorräumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man nimmt die obigen Eigenschaften zum Anlass, den Begriff des Skalarprodukts auf beliebige reelle und komplexe Vektorräume zu verallgemeinern. Ein Skalarprodukt ist dann eine Funktion, die zwei Vektoren ein Körperelement (Skalar) zuordnet und die genannten Eigenschaften erfüllt. Im komplexen Fall modifiziert man dabei die Bedingung der Symmetrie und der Bilinearität, um die Positivdefinitheit zu retten (die für komplexe symmetrische Bilinearformen nie erfüllt ist).

In der allgemeinen Theorie werden die Variablen für Vektoren, also Elemente eines beliebigen Vektorraums, im Allgemeinen nicht durch Pfeile gekennzeichnet. Das Skalarprodukt wird meist nicht durch einen Malpunkt, sondern durch ein Paar von spitzen Klammern bezeichnet. Für das Skalarprodukt der Vektoren und schreibt man also . Andere gebräuchliche Notationen sind (vor allem in der Quantenmechanik in Form der Bra-Ket-Notation), und .

Definition (Axiomatik)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform das heißt für und gelten die folgenden Bedingungen:

  1. linear:
  2. symmetrisch:
  3. positiv definit:
    • genau dann, wenn

Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem komplexen Vektorraum ist eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform das heißt für und gelten die folgenden Bedingungen:

  1. sesquilinear:
    •    (semilinear im ersten Argument)
    •    (linear im zweiten Argument)
  2. hermitesch:
  3. positiv definit:
    • (Dass reell ist, folgt aus Bedingung 2.)
    • genau dann, wenn


Ein reeller oder komplexer Vektorraum, in dem ein Skalarprodukt definiert ist, heißt Skalarproduktraum oder Prähilbertraum. Ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt wird auch euklidischer Vektorraum genannt, im komplexen Fall spricht man von einem unitären Vektorraum. Entsprechend wird das Skalarprodukt in einem euklidischen Vektorraum gelegentlich als euklidisches Skalarprodukt, das in einem unitären Vektorraum als unitäres Skalarprodukt bezeichnet. Die Bezeichnung „euklidisches Skalarprodukt“ wird aber auch speziell für das oben beschriebene geometrische Skalarprodukt oder das weiter unten beschriebene Standardskalarprodukt im benutzt.

Anmerkungen
  • Oft wird jede symmetrische Bilinearform bzw. jede hermitesche Sesquilinearform als Skalarprodukt bezeichnet; mit diesem Sprachgebrauch beschreiben die obigen Definitionen positiv definite Skalarprodukte.
  • Die beiden angegebenen Axiomensysteme sind nicht minimal. Im reellen Fall folgt aufgrund der Symmetrie die Linearität im ersten Argument aus der Linearität im zweiten Argument (und umgekehrt). Analog dazu folgt im komplexen Fall aufgrund der Hermitezität die Semilinearität im ersten Argument aus der Linearität im zweiten Argument (und umgekehrt).
  • Im komplexen Fall wird das Skalarprodukt oft alternativ, nämlich als linear im ersten und semilinear im zweiten Argument definiert. Diese Version tritt bevorzugt in der Mathematik und insbesondere in der Analysis auf, während in der Physik überwiegend die obige Version benutzt wird (siehe Bra- und Ket-Vektoren). Der Unterschied beider Versionen liegt in den Auswirkungen der Skalarmultiplikation hinsichtlich der Homogenität. Nach der Alternativversion gilt für und     und . Die Additivität wird in beiden Versionen gleich verstanden. Ebenso sind die nach beiden Versionen aus dem Skalarprodukt gewonnenen Normen identisch.[2]
  • Ein Prähilbertraum, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm ist, wird als Hilbertraum bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Standardskalarprodukt im Rn und im Cn[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Standardskalarprodukt

Ausgehend von der Darstellung des euklidischen Skalarprodukts in kartesischen Koordinaten definiert man in der linearen Algebra das Standardskalarprodukt im -dimensionalen Koordinatenraum für durch

Das oben behandelte „geometrische“ Skalarprodukt im euklidischen Raum entspricht so dem Spezialfall Im Fall des -dimensionalen komplexen Vektorraums definiert man das Standardskalarprodukt für durch

wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bedeutet. In der Mathematik ist häufig auch die alternative Version gebräuchlich, bei der das zweite Argument statt des ersten konjugiert wird.

Das Standardskalarprodukt im bzw. lässt sich auch als Matrizenprodukt schreiben, indem man den Vektor als -Matrix (Spaltenvektor) interpretiert: Im reellen Fall gilt

wobei der Zeilenvektor ist, der aus dem Spaltenvektor durch Transponieren hervorgeht. Im komplexen Fall gilt (für den links semilinearen, rechts linearen Fall)

wobei der zu hermitesch adjungierte Zeilenvektor ist.

Allgemeine Skalarprodukte im Rn und im Cn[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeiner definiert im reellen Fall jede symmetrische und positiv definite Matrix über

ein Skalarprodukt; ebenso wird im komplexen Fall für jede positiv definite hermitesche Matrix über

ein Skalarprodukt definiert. Hier bezeichnen die spitzen Klammern auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt, die spitzen Klammern mit dem Index A auf der linken Seite das durch die Matrix definierte Skalarprodukt.

Jedes Skalarprodukt auf bzw. lässt sich auf diese Art durch eine positiv definite symmetrische Matrix (bzw. positiv definite hermitesche Matrix) darstellen.

L2-Skalarprodukt für Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: L²-Skalarprodukt

Auf dem unendlich-dimensionalen Vektorraum der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall ist das -Skalarprodukt durch

für alle definiert.

Für Verallgemeinerungen dieses Beispiels siehe Prähilbertraum und Hilbertraum.

Frobenius-Skalarprodukt für Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Frobenius-Skalarprodukt

Auf dem Matrizenraum der reellen -Matrizen wird für durch

ein Skalarprodukt definiert. Entsprechend wird auf dem Raum der komplexen -Matrizen für durch

ein Skalarprodukt definiert. Dieses Skalarprodukt wird Frobenius-Skalarprodukt genannt und die dazugehörige Norm heißt Frobeniusnorm.

Norm, Winkel und Orthogonalität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Länge eines Vektors im euklidischen Raum entspricht in allgemeinen Skalarprodukträumen die vom Skalarprodukt induzierte Norm. Man definiert diese Norm, indem man die Formel für die Länge aus dem euklidischen Raum überträgt, als die Wurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst:

Dies ist möglich, da aufgrund der positiven Definitheit nicht negativ ist. Die als Normaxiom geforderte Dreiecksungleichung folgt dabei aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

Sind so kann diese Ungleichung zu

umgeformt werden. Daher lässt sich auch in allgemeinen reellen Vektorräumen mittels

der Winkel zweier Vektoren definieren. Der so definierte Winkel liegt zwischen 0° und 180°, also zwischen 0 und Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.[3]

Auch im allgemeinen Fall nennt man Vektoren, deren Skalarprodukt gleich Null ist, orthogonal:

Matrixdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein -dimensionaler Vektorraum und eine Basis von so kann jedes Skalarprodukt auf durch eine ()-Matrix die Gramsche Matrix des Skalarprodukts, beschrieben werden. Ihre Einträge sind die Skalarprodukte der Basisvektoren:

  mit     für

Das Skalarprodukt lässt sich dann mit Hilfe der Basis darstellen: Haben die Vektoren bezüglich der Basis die Darstellung

  und  

so gilt im reellen Fall

Bezeichnet man mit die Koordinatenvektoren

  und 

so gilt also

wobei das Matrixprodukt eine -Matrix liefert, also eine reelle Zahl. Mit wird der Zeilenvektor bezeichnet, der durch Transponieren aus dem Spaltenvektor entsteht.

Im komplexen Fall gilt entsprechend

wobei der Überstrich komplexe Konjugation bezeichnet und der zu adjungierte Zeilenvektor ist.

Ist eine Orthonormalbasis, das heißt, gilt für alle und für alle so ist die Einheitsmatrix, und es gilt

im reellen Fall bzw.

im komplexen Fall. Bezüglich einer Orthonormalbasis entspricht das Skalarprodukt von und also dem Standardskalarprodukt der Koordinatenvektoren und bzw.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Skalarprodukt – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Liesen, Mehrmann: Lineare Algebra. S. 168.
  2. Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. verbesserte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2009, ISBN 978-3-486-59186-6, S. 91.
  3. Klaus Scharnhorst: Angles in complex vector spaces. In: Acta Applicandae Math. Band 69, 2001, S. 95–103.