Skyrmion

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Als Skyrmion (nach Tony Skyrme) wird in der theoretischen Physik ein Modell topologisch stabiler Solitonen-Wirbel in Feldern bezeichnet. Diese Wirbel verhalten sich wie Teilchen bzw. Quasiteilchen endlicher Masse.[1]

Das Modell entstand ursprünglich in der Hochenergiephysik. Inzwischen gibt es aber festkörperphysikalische Anwendungen, die das Modell für die Informationstechnologie interessant machen.

Das Skyrmionen-Modell modelliert ursprünglich Fermionen (Nukleonen) als spezielle Solitonen des Feldes, wobei es von Bosonenfeldern ausgeht (einem nichtlinearen klassischen Feld, welches den Austausch-Mesonen der Kernwechselwirkung entspricht).[2][3][4][5] Es wurde besonders Anfang der 1980er Jahre mit den Arbeiten von Edward Witten und verschiedenen Bag-Modellen populär (siehe auch Kenneth A. Johnson) und wurde u. a. im Zusammenhang mit dem Quanten-Hall-Effekt in zweidimensionalen Elektronengasen diskutiert; derzeit wird es auch an Oberflächen und Grenzflächen magnetischer Systeme untersucht.[6][7]

Anfang 2009 konnte an der TU München von Sebastian Mühlbauer, Christian Pfleiderer, Peter Böni, dem Theoretiker Achim Rosch (Universität zu Köln) und anderen erstmals ein Skyrmionengitter in einem magnetischen Festkörper (Mangansilizium bei -245 °C und in einem Magnetfeld von 0,2 Tesla) direkt nachgewiesen werden.[8] Eine im September 2010 eingereichte und im Juli 2011 veröffentlichte Publikation einer Forschergruppe der Universitäten Kiel und Hamburg sowie des Forschungszentrums Jülich beschreibt den ersten Nachweis von Skyrmionen ohne externes Magnetfeld.[9][10] 2013 gelang es Forschern der Universität Hamburg, Skyrmionen gezielt auf einer Oberfläche zu erzeugen und zu löschen.[11] Das legt Anwendungen auf dem Gebiet der Informationstechnologie nahe.

Simulation in FDTD (2D)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Skyrmion in FDTD (2D) ohne Kräfte. Das Partikel ist ein Soliton das zunächst keine Kraft-Wechselwirkung ausübt. Es hat eine eigene Größenabmessung wobei überzählige Energie als Welle abgestrahlt wird. Erweiterte Versionen könnten ein Weltall basierend auf einem Raum aus Millimeterpapier nachbilden. Es basiert auf der Sinus-Gordon-Gleichung bei der die Ableitung nach dem Ort als Divergenz realisiert wurde.
Skyrmion in FDTD (2D) mit Kopplung des Partikels an eine sich wellenförmig ausbreitende Kraft als zweite Ableitung. Das Feld der Kraft wird lediglich ähnlich einem elektrischen Potential gespeichert. Ein elektrisches Feld ergibt sich wenn der Gradient des Potentials gebildet wird. Hier wird das Kraftfeld als Divergenz genutzt (Skalarpotiential). Eine Nutzung als Rotation (Vektorpotential) erfolgt nicht. Sie wäre in 2D in Skalar und dem Skalarpotential gleich. In 3D ergäbe sich ein Vektor als Rotationsachse.

Ein 2D Skyrmion ergibt sich aus der Rotation des Solitons der Sinus-Gordon-Gleichung um den Mittelpunkt. Es kann in einem FDTD -Simulationsmedium nachgebildet werden, das in 2D einem Rechenkästchengitter ähnelt. In jedem Kästchen befindet sich auf der 2D-Fläche ein 3D-Vektorpfeil mit der Einheitslänge 1. Die dritte Koordinatenachse ermöglicht es, dass an einem Ort ohne Teilchen der Pfeil in eine der beiden neutralen Richtungen zeigt (z.B. Down). Oft wird das Skyrmion als ein auf die Fläche abgewickelter Igel gezeigt. Dabei kann man den Igel auch so realisieren, dass die Pfeile kästchenweise angeordnet sind. Im Schaubild sind meist alle Pfeile, die nach Down zeigen, weggelassen.

FDTD bedeutet dass z.B. eine kleine Welt mit 360x240 Pixeln entsteht. Die wenigen in der Simulation verwendeten Formel sind in dieser Welt Weltformeln. Der Autor der Simulation kann durch die Initialisierung des Mediums (Hauptspeicher) festlegen was sich zur Laufzeit ereignen wird. Das Besondere der Sinus-Gordon-Gleichung ist es, dass sie als Weltformel ruhende Partikel ermöglicht.

In den gezeigten Videos der Simulation wird ein Double-Buffer Algorithmus verwendet. In Takt 1 erfolgt das Bilden von Differenzen der in den Pixeln gespeicherten Werte (1. Ableitung). Danach bildet ein im Double-Buffer gewöhnlich nicht vorkommender Schritt der Mittelwert von einem Pixel und seinen acht Nachbarpixeln. Als zweiter Schritt wird die Sinus-Gordon-Gleichung sowie ein Wellenalgorithmus angewendet welche sich überlagern. Die Rechnung kommt ohne expliziten Aufruf der sin()-Funktion aus, sie wird ja durch Simulation nachgebildet. Einfach gesagt ist jeder Pixel nur von seiner engen Umgebung aus dem Vorgängerbild abhängig. Es wird nicht abhängig von beliebiger Zeit gerechnet. Einschränkend ergibt sich die Notwendigkeit, wegen Schrittabweichungen durch Näherung, die Einheitslänge der 3D-Vektoren bei jedem Schritt zu normalisieren. Dazu ist die Quadratwurzel notwendig. Auch enthält die Simulation einen Dämpfungsterm. Ränder sind bis jetzt nicht terminiert (siehe Tastkopf Terminierung). Durch die Nachbarschafts-Differenzbildung entsteht ein ungerades Gitter. Es überlappen sich Pixel aus Schritt eins und Schritt zwei. Zur Rechenzeitoptimierung zeigt die x-Achse 45° von links oben nach rechts unten. Die y-Achse zeigt 45° von links unten nach rechts oben. Von der Simulation wird im Zeitraffer nur jedes zweite Bild in das Video gerendert.

Die Variablen

        // Alle Pixel.
        p->* ... Pixel(x, y) bestehend aus den folgenden Mitgliedern:
        l ...       Links
        r ...       Rechts
        d ...       Unten
        u ...       Oben
        ld ...      Links unten
        lu ...      Links oben 
        rd ...      Rechts unten
        ru ...      Rechts oben
        // Elektrisches Potential
        p ...      elektrisches Potential ### Grüne Linie im Video.
        px ...     Differenz zwischen zwei Nachbarn, Gradient.x
        py ...     Differenz zwischen zwei Nachbarn, Gradient.y
        pxxyy ...  Differenz, Divergenz des obigen Gradienten, Quellfeld
        pt ... Änderung von p bei jedem Bild-Fortschritt
        // Partikel
        // Winkel als Kreuzprodukt
        // Drehen durch aufaddieren eines kleinen Winkels (Kreuzprodukt) und normieren
        Q        ... Datenstruktur eines Vektors(x, y, z) mit definiertem Kreuzprodukt.
        q        ... Vektor(x, y, z) der Länge 1.
        qx       ... Winkel zwischen q_links_oben und q_rechts_unten ### Als Grautöne im Video gezeigt.
        qy       ... Winkel zwischen q_links_unten und q_rechts_oben
        qdiv     ... Divergenz durch Summe aus qx und qy
        qxxyy    ... Summe aus Divergenzen, durch probieren ermittelt
        qcorpus  ... Sinus-Äquivalent zur Sinus-Gordon-Gleichung
        qt       ... Änderung von q bei jedem Bildfortschritt

Schritt 1 (Für jeden Pixel in jedem Bild des Videos)

        // Pixel von Schritt 1 und 2 sind schräg um einen 1/2 verschoben.
        Pixel *p = space[i], *lu = p, *ld = p->d, *ru = p->r, *rd = p->r->d;                            
 
        p->px = lu->p - rd->p; // Ableiten durch Differenz.
        p->py = ld->p - ru->p; // Es erfolgt kein Aufaddieren.
                
        p->qx = lu->q < rd->q; // Ableiten, Winkelzeichen definiert als Kreuzprodukt.
        p->qy = ld->q < ru->q; // Es erfolgt kein aufaddieren.
        
        p->qdiv = p->qx.y - p->qy.x; // Flächensinn (Divergenz) ermitteln.

Schritt 2 (Für jeden Pixel in jedem Bild des Videos)

        // Pixel von Schritt 1 und 2 sind schräg um einen 1/2 verschoben.
        Pixel *p = space[i], *lu = p->l->u, *ld = p->l, *ru = p->u, *rd = p;                            
        
        // Durch Summenbildung erfolgt eine Mittelung der Werte benachbarter Pixel.
        double 
            px = +lu->px +ld->px +ru->px +rd->px,
            py = +lu->py +ld->py +ru->py +rd->py,
            qdiv = +lu->qdiv +ld->qdiv +ru->qdiv +rd->qdiv
            ;
        
        // Winkeldifferenz des aktuellen q zur neutralen Vektor-Richtung (=Down).
        p->qcorpus = Q::Down < p->q;
        // Zweite Ableitung der Winkelunterschiede zwischen den q-Vektoren. 
        p->qxxyy = 
            Q(
                 -ld->qdiv +ru->qdiv, // Winkel um x-Achse.
                 +lu->qdiv -rd->qdiv, // Winkel um y-Achse.
                 // Winkel um Hochachse, Ableiten von Torsion, da sonst instabil.
                 +lu->qx.z -rd->qx.z +ld->qy.z -ru->qy.z
            );

        // Ermitteln der Bewegung der einzelnen Vektoren.
        p->qt = 0.99 * p->qt           // Aufaddieren mit Dämpfung.
              +1e-1 * p->qxxyy         // Zweite Ableitung.
              +2.0e-2 * p->qcorpus     // Corpus, Partikeleigenschaft.
              // Implementieren der Kraftwirkung.
              +1e-2 * Q(-py, px, 0.0);    // Einkoppeln des elektr. Pot., nur im 2. Video.
        // Drehen des aktuellen q-Vektors mit der vorher ermittelten Geschwindigkeit.
        p->q = p->q >> p->qt;

        // Ermitteln der zweiten Ableitung des elektr. Pot. (Divergenz).
        p->pxxyy = +lu->px -rd->px +ld->py -ru->py;
        // Zeitliche Änderung des elektr. Pot. (Ausbreitung).
        p->pt = 0.99 * p->pt        // Aufaddieren mit Dämpfung.
                 +1e-1 * p->pxxyy      // Zweite Ableitung.
                 // Potential innerhalb des Partikels biegen.
                 +1e-3 * qdiv;            // Partikel einkoppeln, nur im 2. Video.
        // Ändern des Feldes um die ermittelte Differenz.
        p->p = p->p + p->pt;

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Spektrum der Wissenschaft April 2009, S.11, Feldknoten als Teilchen
  2. Tony Skyrme: A non linear theory of strong interactions. In: Proc.Roy.Soc.. A 247, 1958, S. 260. doi:10.1098/rspa.1958.0183.
  3. Tony Skyrme: A unified model of K and Pi-Mesons, Proc.Roy.Soc. A 252, 1959, S. 236
  4. Tony Skyrme: A nonlinear field theory, Proc.Royal Society A 260, 1961, S. 127-138
  5. Tony Skyrme: Particle states in a quantized meson field, Proc.Roy.Soc. A 262, 1961, S. 237
  6. Kolloquiumsankündigung an der Universität Regensburg, "PDF" (Memento vom 14. Oktober 2013 im Internet Archive).
  7. Christian Pfleiderer: Magnetismus mit Drehsinn, Physik Journal 11 (2010), S. 25, und: Wirbel um Spinwirbel, dito 20 (2013), Heft (10), S. 20-21
  8. TU München: Magnetische Wirbelfäden in der Elektronensuppe
  9. Deutsche Forscher entdecken neue "Skyrmionen", Meldung vom 31. Juli 2011 auf heise.de; abgerufen am 31. Juli 2011
  10. Strom bewegt Skyrmionen, Pro Physik 2010
  11. Magnetische Nano-Knoten als Datenspeicher - Erster Schritt gelungen: Forscher erzeugen und löschen Skyrmionen auf einer Oberfläche. Original aus Science, 2013. doi:10.1126/science.1240573. Abgerufen am 9. August 2013.