sl(2,C)

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Dieser Artikel behandelt die Lie-Algebra , zur Gruppe siehe Spezielle lineare Gruppe.

In der Mathematik ist die Lie-Algebra der Prototyp einer komplexen einfachen Lie-Algebra. Die ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.

Die ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe . Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper definiert und hat zwei reelle Formen, die Lie-Algebra und die Lie-Algebra .

Die Gruppe spielt insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, da sie die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen ist.

Kommutator-Relationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum . Die ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:

Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2×2-Matrizen:

Alternative Realisierung durch das Kreuzprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch die Definition des Kreuzproduktes in und der folgenden Vektoren

ergibt sich die gleiche Algebra:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.

Beweis: Sei ein nichttriviales Ideal in und sei mit . Wenn , dann , damit und , also . Also können wir oder annehmen, o. B. d. A . Aus folgt dann und damit auch , also wieder .

Struktur der Lie-Algebra sl(2,C)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Killing-Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Killing-Form von lässt sich explizit durch die Formel

berechnen, es ist also

Cartan-Involution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe ist , ihre Lie-Algebra wird von und aufgespannt.

Eine Cartan-Involution von ist gegeben durch

.

ist ihr Eigenraum zum Eigenwert . Man erhält die Cartan-Zerlegung

,

wobei der Eigenraum zum Eigenwert ist.

Iwasawa-Zerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Iwasawa-Zerlegung von ist

mit .

Reelle Formen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die hat zwei reelle Formen: ihre kompakte reelle Form ist , ihre spaltbare reelle Form ist .

Cartan-Unteralgebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine maximale abelsche Unteralgebra ist

.

ist eine Cartan-Unteralgebra.

Jede Cartan-Unteralgebra ist zu konjugiert, d. h., sie ist von der Form

für ein .

Wurzelsystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Wurzelsystem zu ist

.

Die dualen Wurzeln sind

.

Die zugehörigen Wurzelräume sind

.

Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Nicolas Perrin: The Lie Algebra pdf
  • Abhinav Shrestha: Representations of semisimple Lie algebras pdf