Slater-Determinante

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Die Slater-Determinante (nach John C. Slater) ist eine Methode in der Quantenmechanik zur Konstruktion einer Wellenfunktion für Systeme, die aus Fermionen bestehen. Die entstehende Wellenfunktion entspricht dann den Anforderungen des Pauli-Prinzips und wechselt ihr Vorzeichen, wenn zwei identische Fermionen miteinander vertauscht werden. Die Konstruktion nutzt die Eigenschaften der Determinante einer Matrix, die beim Vertauschen von Zeilen oder Spalten ebenfalls das Vorzeichen wechselt. Die entstandene Wellenfunktion wird oft ebenfalls als Slater-Determinante bezeichnet und z.B. in der Quantenchemie zur Beschreibung von Elektronen in einem Molekül eingesetzt. [1][2]

Die Konstruktion verwendet Einteilchen-Wellenfunktionen (sogenannte Orbitale), die jeweils in eine Spalte der zugrunde liegenden Matrix eingetragen werden. Als Argument der Funktionen werden dann die Koordinaten der Fermionen jeweils zeilenweise eingetragen. Die beim Lösen der Determinante entstehende Mehrteilchen-Wellenfunktion ist dann eine Summe aus Produkten von Einteilchen-Wellenfunktionen und hat die für das Pauli-Prinzip nötige Eigenschaft der Antisymmetrie gegenüber der Vertauschung zweier ununterscheidbarer Fermionen.

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die Schrödingergleichung zu lösen, ist es nötig, geeignete Wellenfuktionen für das betrachtete System zu finden. Ein möglicher Ansatz einer Wellenfunktion für N-Teilchen-Systeme, wie z.B. die Elektronen in einem Atom oder Molekül, ist, sie als Produkt von Wellenfunktionen der einzelnen Teilchen mit den Koordinaten anzunehmen:

Dieser Ansatz wird auch "Hartree-Produkt" genannt. Eine solche Funktion ist nicht antisymmetrisch gegenüber Vertauschung der Teilchen. Allerdings ist es möglich, eine Wellenfunktion als Kombination mehrerer Hartree-Produkte mit untereinander vertauschten Teilchen zu generieren.

Beispiel mit zwei Teilchen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Hartree-Produkt mit zwei Elektronen in zwei Orbitalen lautet und erfüllt die Forderung nicht. Die Kombination

hingegen schon. Tatsächlich wird die Funktion Null, wenn die Koordinaten der Teilchen gleich sind (), was eine weitere Forderung des Pauli-Prinzips – dass zwei Fermionen nicht von der selben Wellenfunktion beschrieben werden können – erfüllt. Der Vorfaktor dient der Normierung, die aus dem Formalismus der Quantenmechanik für Wellenfunktionen gefordert wird.

Die Konstruktion als Determinante in dieser Form erzeugt immer eine zulässige Wellenfunktion, auch für mehr als zwei Elektronen. Um den Schreibaufwand zu verringern, werden oft nur die Diagonalelemente der Determinante angegeben, der Normierungsfaktor weggelassen und nur entweder die Orbitale oder – anstatt der Koordinaten – die Indizes der Teilchen angeschrieben[1]. Die oben angegebene Slater-Determinante könnte also z.B. unter Verwendung der Dirac-Notation geschrieben werden als

Herleitung mit dem Antisymmtrierungsoperator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wellenfunktion (Eigenfunktion des Vielteilchen-Hamiltonian) ist ein Produkt aus normierten Eigenfunktionen des (wechselwirkungsfreien) Einteilchen-Hamiltonoperators:

Das Funktionsargument entspricht der Ordnungszahl des jeweiligen Elektrons, z. B. . Zur Erfüllung des Pauli-Prinzips wird der Antisymmetrisierungsoperator angefügt, d. h.:

Ergebnis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Slater-Determinante kann wie folgt geschrieben werden:

Darin sind nun alle Kombinationen enthalten. Die Normierung der Wellenfunktion wird durch die Fakultät im Nenner gewährleistet. Die Antisymmetrie unter Teilchenvertauschung wird, wie oben schon angesprochen, durch die Realisierung als Determinante automatisch erfüllt.

Für wechselwirkungsfreie Vielteilchensysteme ist dies ein Eigenzustand des Hamilton-Operators. Dies kann für wechselwirkende Systeme nicht mehr angenommen werden.


Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Attila Szabo, Neil S. Ostlund: Modern Quantum Chemistry: Introduction to Advanced Electronic Structure Theory. Courier Corporation, 1996, ISBN 978-0-486-69186-2, S. 50 ff.
  • H. Friedrich: Theoretische Atomphysik. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin–Heidelberg 1994, ISBN 978-3-540-58267-0.
  • T. Fließbach: Quantenmechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-2020-6.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Attila Szabo, Neil S. Ostlund: Modern Quantum Chemistry: Introduction to Advanced Electronic Structure Theory. Courier Corporation, 1996, ISBN 978-0-486-69186-2, S. 50.
  2. Peter W. Atkins: Quanten: Begriffe und Konzepte für Chemiker. VCH, ISBN 978-0-486-69186-2.