Slutsky-Zerlegung

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Slutsky-Zerlegung: Einkommenseffekt und Substitutionseffekt

Die Slutsky-Zerlegung ist eine Methode, um die Ableitung der grundsätzlich nicht beobachtbaren Hicks’schen Nachfragefunktion nach dem Preis aus der potenziell beobachtbaren marshallschen Nachfrage zu bestimmen; die resultierende Gleichung bezeichnet man als Slutsky-Gleichung.

Es zeigt sich, dass mittels der Slutsky-Zerlegung die durch eine Preisänderung hervorgerufene Nachfrageänderung nach einem Gut in einen Substitutions- und einen Einkommenseffekt zerlegt werden kann.

Die Methode ist benannt nach dem Mathematiker und Ökonomen Eugenius Slutsky.

Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die marshallsche Nachfrage nach einem Gut in Abhängigkeit von einem Preisvektor und dem individuellen Einkommen . (Die marshallsche Nachfrage resultiert aus dem Nutzenmaximierungsproblem des Haushalts und gibt die Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen – an, die erforderlich ist, um mit einem gegebenen Einkommen ein möglichst hohes Nutzenniveau zu erreichen).

Weiterhin vereinbare man als Hicks’sche (auch: kompensierte) Nachfrage nach dem Gut , wobei hier für das zu erreichende Nutzenniveau steht. (Die Hicks’sche Nachfrage resultiert aus dem Ausgabenminimierungsproblem des Haushalts und gibt die Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen – an, die erforderlich ist, um möglichst kostengünstig ein vorgegebenes Nutzenniveau zu erreichen).

Dann gilt:

Slutsky-Gleichung:

In Worten beantwortet die Gleichung (von links nach rechts gelesen) die Frage, wie sich die Nachfrage nach einem Gut verändert, wenn man bei konstantem Einkommen den Preis von Gut verändert. Die Antwort ist, dass die Veränderung der Summe von Substitutions- und Einkommenseffekt entspricht. Der Substitutionseffekt entspricht der Änderung der kompensierten Nachfrage nach infolge der Änderung des Preises von ; davon abgezogen wird ein Ausdruck, der angibt, wie sich die Veränderung des Einkommens auf die Nachfrage nach auswirkt, modifiziert mit der totalen Nachfrage nach .

Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Preisänderung geht mit einer Änderung des Realeinkommens einher. Da das Einkommen die Nachfrage beeinflusst, wird die Nachfrageänderung, die allein auf die Preisänderung zurückzuführen ist (Substitutionseffekt), bei der empirischen Beobachtung durch den Einkommenseffekt verfälscht. Die Slutsky-Zerlegung simuliert die Preisänderung bei konstantem Realeinkommen. Es zeigt sich, dass die Nachfrage nach einem normalen Gut bei einer Preiserhöhung zurückgehen muss, wenn das reale Einkommen konstant gehalten wird (Gesetz der Nachfrage).

Methodisch etwas verschieden ist die Hicks-Zerlegung, die jedoch zum prinzipiell gleichen Ergebnis kommt. Hier wird nicht das reale Einkommen, sondern der Nutzen(indexwert) des Haushalts konstant gehalten. Die Hicks-Zerlegung gibt dem Haushalt also gerade den Betrag, der notwendig ist, damit er die ursprüngliche Indifferenzkurve wieder erreichen kann.

Alle möglichen Fälle auf einen Blick[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier: Hicks-Zerlegung

Annahme:
(Preisabnahme von Gut 1, c.p.)

Der Substitutionseffekt (SE) ist somit bei Gut 1 stets positiv und bei Gut 2 stets negativ. Richtung und Stärke des Einkommenseffekts (EE) und somit auch der Gesamteffekt (GE) sind von der Art der Güter abhängig. Im Folgenden soll deshalb eine Übersicht über jeden dabei möglichen Fall gegeben werden.

Erläuterung zur Grafik: P ist der ursprüngliche Optimalpunkt (hellblau: ursprüngliche Budgetgerade) und P* der hypothetische Optimalpunkt bei angeglichener Budgetgerade (grün). Die Punkte A bis E auf der neuen Budgetgeraden (blau) stellen Beispiele für jedes mögliche neue, optimale Bündel – abhängig von der Art der Güter und somit vom Verlauf der zugehörigen Indifferenzkurven (rot) – dar.

Hicks-Zerlegung.png
Gut 1 Gut 2 Gesamteffekt
Art EE Art EE Gut 1 Gut 2
A Giffen-Gut -- superior ++ +
B inferiores Gut - superior ++ + +
C normal + superior ++ + +
D normal + normal + + -
E normal + inferior - + -

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Dualität von marshallscher und Hicks’scher Nachfrage folgt zunächst (siehe der Artikel Hicks’sche Nachfragefunktion). Man differenziert dann beide Seiten unter Anwendung der Kettenregel nach dem Preis eines Gutes , [1], und erhält[2]

.

Es ist (siehe der Artikel Indirekte Nutzenfunktion) und auch (denn nach Annahme erzielt ein Konsument zu Preisen und mit Einkommen gerade maximal den Nutzen ), was zusammen impliziert. Zudem gilt (Shephards Lemma), sodass man die obige Gleichung umschreiben kann zu

.

Abermalige Anwendung der eingangs postulierten Dualitätseigenschaft liefert

,

und da noch immer (siehe oben) auch

,

was zu zeigen war.

Slutsky-Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stellt man die Slutsky-Gleichung nach dem Substitutionseffekt um, steht auf der rechten Seite der Ausdruck

Dadurch sei der -te Eintrag einer -Matrix gegeben, der so genannten Slutsky-Matrix (auch: Slutsky-Substitutions-Matrix) :

Sie zeigt für beliebige zwei Güter den zugehörigen Substitutionseffekt.

Es kann gezeigt werden, dass symmetrisch und negativ semidefinit ist.[3]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
  • Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-19-507340-1.
  • Hal Varian: Microeconomic Analysis. W. W. Norton, New York und London 1992, ISBN 0-393-95735-7.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Beachte, dass wie üblich vereinbart .
  2. Vgl. die weithin identischen Beweise bei Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 71; Jehle/Reny 2011, S. 53 f. [dort etwas ausführlicher] sowie Nolan H. Miller: Notes on Microeconomic Theory. online (Memento vom 15. Dezember 2011 im Internet Archive) (PDF; 1 MB), S. 65, abgerufen am 2. Januar 2015.
  3. Zum Beweis siehe Jehle/Reny 2011, S. 59.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]