Smarandache-Funktion

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In der Mathematik ist die Smarandache-Funktion eine Folge bzw. eine zahlentheoretische Funktion, die mit der Fakultät verwandt ist. Historisch gesehen wurde sie zuerst von Édouard Lucas[1] (1883), Joseph Neuberg[2] (1887) und Aubrey J. Kempner[3] (1918) betrachtet. 1980[4] wurde sie von Florentin Smarandache „wiederentdeckt“.

Definition und Werte[Bearbeiten]

Die Smarandache-Funktion \mu(n) ist definiert als die kleinste natürliche Zahl, für die n die Fakultät von \mu(n) teilt.

Formal ist \mu(n) also die kleinste natürliche Zahl, für die gilt

n\; |\; \mu(n)!

Beispiele[Bearbeiten]

Ist zum Beispiel der Wert \mu(8) gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, … zu suchen, die durch 8 teilbar ist. Da \, 1!=1 und 2!=1\cdot2=2 und 3!=1\cdot2\cdot3=6 nicht durch acht teilbar sind, 4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24=3\cdot8 aber doch, ist \, \mu(8)=4.

Allerdings ist etwa \mu(7)=7, da die Zahl 7 keine der Zahlen 1!, 2!, …, 6! teilt, während sie 7! trivialerweise teilt.

Die ersten Werte sind:[5]

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
\mu(n) 1 (*) 2 3 4 5 3 7 4 6 5 11 4 13 7 5 6 17 6 19 5 7 11 23 4 10 13 9 7 29

(*) Der Wert \mu(1) wird von manchen Autoren auch als 0 definiert.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Trivialerweise gilt

\, \mu(n)\le n,

da ja n auf jeden Fall n!=n\cdot(n-1)! teilt.

Ein grundlegendes Resultat ist, dass Gleichheit in der obigen Ungleichung genau für prime n oder n=4 eintritt:

\mu(n)=n\qquad\Leftrightarrow\qquad n \text{ prim}\quad \text{oder}\quad n=4

Beweis:

\Rightarrow: Sei \mu(n)=n und n nicht prim. Dann ist n=4 zu zeigen. Da n nicht prim ist, gibt es natürliche Zahlen 2\le s\ \le t < n mit n=st. Wäre sogar s<t, so wäre n=st|t! und man erhielte den Widerspruch \mu(n)\le t < n. Also ist s=t und daher n=t^2. Wäre 2<t, so folgte t<2t<t^2=n, also t<2t\le n-1 und damit n=t^2|t\cdot 2t|(2t)!|(n-1)!, und man hätte erneut den Widerspruch \mu(n)<n. Daher muss t=2 sein und es folgt n=4.

\Leftarrow: Ist n prim, so teilt n keine Zahl m! für m<n, da n per def. nicht in m! vorkommt. Daher gilt \mu(n)=n. \mu(4)=4 ist klar.


Übrigens ergibt sich dadurch für \pi(x), die Anzahl der Primzahlen kleinergleich x und der Ganzzahlfunktion:

\pi(x)=-1+\sum_{k=2}^x \left\lfloor\frac{\mu(k)}k\right\rfloor.

Nach Paul Erdős stimmt \mu(n) mit dem größten Primfaktor von n überein für asymptotisch fast alle n, d. h. die Anzahl der Zahlen kleiner gleich n, für die dies nicht gilt, ist o(n).

Allgemein gilt ferner

\, \mu(n!)=n

und

\mu(n)\ge\mathrm{gpf}(n)

wobei \rm gpf für den größten Primfaktor von n stehe.

Ganz allgemein gilt

\mu\left(p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot \ldots \cdot p_n^{\alpha_n}\right) = \max\left[\mu\left(p_1^{\alpha_1}\right), \mu\left(p_2^{\alpha_2}\right), \ldots,\mu\left(p_n^{\alpha_n}\right)\right]

Für (gerade) vollkommene Zahlen n gilt außerdem (k\in\N,p\text{ prim})[6]

\mu(n)=\mu(2^{k-1}\cdot(2^k-1))=2^k-1=p

Abwandlungen[Bearbeiten]

Pseudosmarandache-Funktion[Bearbeiten]

Die Pseudosmarandache-Funktion Z(n) ist die kleinste ganze Zahl, für die

1+2+3+\cdots+Z(n)\qquad\text{teilt}\;n,

also das kleinste natürliche n, für das gilt

\left. \frac{Z(n)(Z(n)+1)}2\;\;\right|\;\;n

(siehe auch Dreieckszahl, Gaußsche Summenformel)

Die ersten Werte sind

1, 3, 2, 7, 4, 3, 6, 15, 8, 4, 10, 8, 12, 7, 5, 31, 16, 8, 18, 15, … (Folge A011772 in OEIS)

Einige Eigenschaften:[7]

  • \sqrt n<Z(n)\le 2n-1
  • Z(n)\le n-1\qquad\text{für ungerade } n
  • Z(2^k)=2^{k+1}-1\,
  • \frac{Z(n+1)}{Z(n)}\text{ und } \frac{Z(n-1)}{Z(n)}\text{ und } \frac{Z(2n)}{Z(n)} sind nach oben hin unbegrenzt
  • \frac n{Z(n)}=k\;(k\in\Z,k\ge2) hat unendlich viele Lösungen für n
  • \sum_{n=1}^\infty \frac1{Z(n)^\alpha} konvergiert für alle \alpha>1

Smarandache-Doppelfakultät-Funktion[Bearbeiten]

Ersetzt man in der Definition die Fakultät durch die Doppelfakultät

n!! = \begin{cases} n \cdot (n-2) \cdot (n-4)\cdot\ldots\cdot 2 & \text{für } n \text{ gerade,} \\
n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdot\ldots\cdot 1 & \text{für } n \text{ ungerade,}\end{cases}

so ist \mathrm{Sdf}(n)

die kleinste natürliche Zahl, die durch \mathrm{Sdf}(n)!! teilbar ist.

Die ersten Werte für \mathrm{Sdf}(n) sind

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 9, 10, 11, 6, 13, 14, 5, 6, … (Folge A007922 in OEIS)

Smarandache-Funktion mit Primorial[Bearbeiten]

Das Primorial (auch Primfakultät, p_\#) ist das Produkt der Primzahlen kleinergleich der gegebenen Zahl. Die Smarandache Near-to-Primorial Function[8] von n ist dann die kleinste Primzahl, für die p_\#+1, p_\#-1 oder p_\# durch n teilbar ist.

Smarandache-Kurepa-Funktion und Smarandache-Wagstaff-Funktion[Bearbeiten]

Für die Smarandache-Kurepa-Funktion \mathrm{SK}(n) wandle man die Fakultät nicht zur Doppelfakultät sondern zu folgender Funktion ab:

f(n)=\sum_{k=0}^{n-1} k!= 0!+1!+2!+\ldots+(n-1)!

Für prime p ist \mathrm{SK}(p) analog die kleinste natürliche Zahl, sodass f(\mathrm{SK}(p)) durch p teilbar ist.[9]

Die ersten Werte sind 2, 4, 6, 6, 5, 7, 7, 12, 22, 16, 55 und bilden Folge A049041 in OEIS.

Die Smarandache-Wagstaff-Funktion verwendet stattdessen[10]

f(n)=\sum_{k=1}^n k!= 1!+2!+\ldots+n!

Smarandache-Ceil-Funktion[Bearbeiten]

Die Smarandache-Wagstaff-Funktion k-ter Ordnung S_k(n) schließlich ist als die kleinste natürliche Zahl definiert, für die \, [S_k(n)]^k durch n teilbar ist.[11]

Die ersten Werte:

k S_k(n)
1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, … n
2 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 4, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, … (Folge A019554 in OEIS)
3 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, … (Folge A019555 in OEIS)
4 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, … (Folge A053166 in OEIS)

Weiteres[Bearbeiten]

  • Tutescu[12] vermutete, dass für zwei aufeinanderfolgende Zahlen deren Werte der Smarandache-Funktion stets verschieden sind:
\mu(n)\not=\mu(n+1)\qquad\quad\text{für alle } n
Dies wurde bis 10^9 die Vermutung bestätigend nachgerechnet.
Die Reihe der Kehrwerte der Fakultäten der Smarandache-Funktion konvergiert (erste Smarandache-Konstante):
\sum_{n=2}^\infty \frac1{\mu(n)!}=1{,}09317\dots (Folge A048799 in OEIS)

Referenzen[Bearbeiten]

  1. E. Lucas: Question Nr. 288. Mathesis 3: 232, 1883
  2. J. Neuberg: Solutions de questions proposées, Question Nr. 288. Mathesis 7: 68–69 (1887)
  3. Aubrey J. Kempner: Miscellanea. American Mathematical Monthly 25: S. 201–210 (1918). doi:10.2307/2972639
  4. Florentin Smarandache: A Function in Number Theory. In: An. Univ. Timişoara, Ser. St. Mat. 18, 1980: S. 79–88. arXiv:math/0405143
  5. Folge A002034 in OEIS
  6. Sebastián Martín Ruiz: Smarandache’s function applied to perfect numbers. In: Smarandache Notions Journal Vol. 10, Frühjahr 1999, S. 114. arXiv:math/0406241
  7. R.G.E. Pinch: Some properties of the pseudo-Smarandache function in arXiv, 6. April 2005
  8. Eric W. Weisstein: Smarandache Near-to-Primorial Function. In: MathWorld (englisch).
  9. Eric W. Weisstein: Smarandache-Kurepa Function. In: MathWorld (englisch).
  10. Eric W. Weisstein: Smarandache-Wagstaff Function. In: MathWorld (englisch).
  11. Eric W. Weisstein: Smarandache Ceil Function. In: MathWorld (englisch).
  12. L. Tutescu: On a Conjecture Concerning the Smarandache Function. Abstracts of Papers Presented to the American Mathematical Society 17, S. 583, 1996
  • Kenichiro Kashihara: Comments and topics on Smarandache notions and problems Erhus University Press 1996, ISBN 1-87958-555-3PDF
  • Norbert Hungerbühler, Ernst Specker: A Generalisation of the Smarandache Function to Several Variables. Electronic Journal of Combinatorical Number Theory 6(2006), #A23 – PDF
  • C. Dumitrescu, N. Virlan, St. Zamfir, E. Radescu, N. Radescu, F.Smarandache: Smarandache Type Function Obtained by Duality, Studii si Cercetari Stiintifice, Seria: Matematica, University of Bacau, No. 9, S. 49-72, 1999. arXiv:0706.2858
  • Sebastian Martin Ruiz, M. L. Perez: Properties and Problems related to Smarandache Type Functions. In: Mathematics Magazine for grades 1-12. 2/2004 S.46-53 – arXiv:math/0407479