Smarandache-Funktion

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In der Mathematik ist die Smarandache-Funktion eine Folge bzw. eine zahlentheoretische Funktion, die mit der Fakultät verwandt ist. Historisch gesehen wurde sie zuerst von Édouard Lucas[1] (1883), Joseph Neuberg[2] (1887) und Aubrey J. Kempner[3] (1918) betrachtet. 1980[4] wurde sie von Florentin Smarandache „wiederentdeckt“.

Definition und Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Smarandache-Funktion ist definiert als die kleinste natürliche Zahl, für die die Fakultät von teilt.

Formal ist also die kleinste natürliche Zahl, für die gilt

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist zum Beispiel der Wert gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, … zu suchen, die durch 8 teilbar ist. Da und und nicht durch acht teilbar sind, aber doch, ist .

Allerdings ist etwa , da die Zahl 7 keine der Zahlen 1!, 2!, …, 6! teilt, während sie 7! trivialerweise teilt.

Die ersten Werte sind:[5]

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
1 (*) 2 3 4 5 3 7 4 6 5 11 4 13 7 5 6 17 6 19 5 7 11 23 4 10 13 9 7 29

(*) Der Wert wird von manchen Autoren auch als 0 definiert.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Trivialerweise gilt

da ja auf jeden Fall teilt.

Ein grundlegendes Resultat ist, dass Gleichheit in der obigen Ungleichung genau für prime oder eintritt:

Beweis:

: Sei und nicht prim. Dann ist zu zeigen. Da nicht prim ist, gibt es natürliche Zahlen mit . Wäre sogar , so wäre und man erhielte den Widerspruch . Also ist und daher . Wäre , so folgte , also und damit , und man hätte erneut den Widerspruch . Daher muss sein und es folgt .

: Ist prim, so teilt keine Zahl für , da n per def. nicht in m! vorkommt. Daher gilt . ist klar.

Übrigens ergibt sich dadurch für , die Anzahl der Primzahlen kleinergleich und der Ganzzahlfunktion:

.

Nach Paul Erdős stimmt mit dem größten Primfaktor von überein für asymptotisch fast alle , d. h. die Anzahl der Zahlen kleiner gleich , für die dies nicht gilt, ist o(n).

Allgemein gilt ferner

und

wobei für den größten Primfaktor von stehe.

Ganz allgemein gilt

Für (gerade) vollkommene Zahlen gilt außerdem ()[6]

Abwandlungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Pseudosmarandache-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Pseudosmarandache-Funktion ist die kleinste ganze Zahl, für die

also das kleinste natürliche , für das gilt

(siehe auch Dreieckszahl, Gaußsche Summenformel)

Die ersten Werte sind

1, 3, 2, 7, 4, 3, 6, 15, 8, 4, 10, 8, 12, 7, 5, 31, 16, 8, 18, 15, … (Folge A011772 in OEIS)

Einige Eigenschaften:[7]

  • sind nach oben hin unbegrenzt
  • hat unendlich viele Lösungen für
  • konvergiert für alle

Smarandache-Doppelfakultät-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ersetzt man in der Definition die Fakultät durch die Doppelfakultät

so ist

die kleinste natürliche Zahl, die durch teilbar ist.

Die ersten Werte für sind

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 9, 10, 11, 6, 13, 14, 5, 6, … (Folge A007922 in OEIS)

Smarandache-Funktion mit Primorial[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Primorial (auch Primfakultät, ) ist das Produkt der Primzahlen kleinergleich der gegebenen Zahl. Die Smarandache Near-to-Primorial Function[8] von ist dann die kleinste Primzahl, für die , oder durch teilbar ist.

Smarandache-Kurepa-Funktion und Smarandache-Wagstaff-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Smarandache-Kurepa-Funktion wandle man die Fakultät nicht zur Doppelfakultät sondern zu folgender Funktion ab:

Für prime ist analog die kleinste natürliche Zahl, sodass durch teilbar ist.[9]

Die ersten Werte sind 2, 4, 6, 6, 5, 7, 7, 12, 22, 16, 55 und bilden Folge A049041 in OEIS.

Die Smarandache-Wagstaff-Funktion verwendet stattdessen[10]

Smarandache-Ceil-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Smarandache-Wagstaff-Funktion k-ter Ordnung schließlich ist als die kleinste natürliche Zahl definiert, für die durch teilbar ist.[11]

Die ersten Werte:

1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …
2 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 4, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, … (Folge A019554 in OEIS)
3 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, … (Folge A019555 in OEIS)
4 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, … (Folge A053166 in OEIS)

Weiteres[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Tutescu[12] vermutete, dass für zwei aufeinanderfolgende Zahlen deren Werte der Smarandache-Funktion stets verschieden sind:
Dies wurde bis die Vermutung bestätigend nachgerechnet.
Die Reihe der Kehrwerte der Fakultäten der Smarandache-Funktion konvergiert (erste Smarandache-Konstante):
(Folge A048799 in OEIS)

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. E. Lucas: Question Nr. 288. Mathesis 3: 232, 1883
  2. J. Neuberg: Solutions de questions proposées, Question Nr. 288. Mathesis 7: 68–69 (1887)
  3. Aubrey J. Kempner: Miscellanea. American Mathematical Monthly 25: S. 201–210 (1918). doi:10.2307/2972639
  4. Florentin Smarandache: A Function in Number Theory. In: An. Univ. Timişoara, Ser. St. Mat. 18, 1980: S. 79–88. arxiv:math/0405143
  5. Folge A002034 in OEIS
  6. Sebastián Martín Ruiz: Smarandache’s function applied to perfect numbers. In: Smarandache Notions Journal Vol. 10, Frühjahr 1999, S. 114. arxiv:math/0406241
  7. R.G.E. Pinch: Some properties of the pseudo-Smarandache function in arXiv, 6. April 2005
  8. Eric W. Weisstein: Smarandache Near-to-Primorial Function. In: MathWorld (englisch).
  9. Eric W. Weisstein: Smarandache-Kurepa Function. In: MathWorld (englisch).
  10. Eric W. Weisstein: Smarandache-Wagstaff Function. In: MathWorld (englisch).
  11. Eric W. Weisstein: Smarandache Ceil Function. In: MathWorld (englisch).
  12. L. Tutescu: On a Conjecture Concerning the Smarandache Function. Abstracts of Papers Presented to the American Mathematical Society 17, S. 583, 1996
  • Kenichiro Kashihara: Comments and topics on Smarandache notions and problems. Erhus University Press 1996, ISBN 1-87958-555-3PDF.
  • Norbert Hungerbühler, Ernst Specker: A Generalisation of the Smarandache Function to Several Variables. Electronic Journal of Combinatorical Number Theory 6(2006), #A23 – PDF.
  • C. Dumitrescu, N. Virlan, St. Zamfir, E. Radescu, N. Radescu, F.Smarandache: Smarandache Type Function Obtained by Duality. Studii si Cercetari Stiintifice, Seria: Matematica, University of Bacau, No. 9, S. 49-72, 1999 arxiv:0706.2858.
  • Sebastian Martin Ruiz, M. L. Perez: Properties and Problems related to Smarandache Type Functions. In: Mathematics Magazine for grades 1-12. 2/2004 S.46-53 – arxiv:math/0407479.