Smash-Produkt

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Das Smash-Produkt bezeichnet eine topologische Konstruktion. Für zwei gegebene punktierte topologische Räume und mit Basispunkten und betrachtet man zunächst den Produktraum mit der Identifizierung für alle und alle . Der Quotient von unter dieser Identifizierung heißt das Smash-Produkt von und und wird mit bezeichnet. Es hängt in der Regel von den gewählten Basispunkten ab.

Wenn man den Raum mit und mit identifiziert, so schneiden sich und in und ihre Vereinigung liefert den Unterraum von . Das Smash Produkt ist dann der Quotient

.

Das Smash-Produkt ist vor allem in der Homotopie-Theorie wichtig, wo es die Homotopie-Kategorie zu einer symmetrischen monoidalen Kategorie macht, mit der 0-Sphäre (bestehend aus zwei Punkten) als neutralem Element. Das Smash-Produkt ist assoziativ bis auf Homöomorphie und kommutativ bis auf Homotopie, d.h. und sind zwar nicht unbedingt homöomorph, aber homotopieäquivalent

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Smash-Produkt von zwei Sphären und ist homöomorph zur Sphäre . Das Smash-Produkt von zwei Kreisen ist demnach eine 2-Sphäre, die sich als Quotient aus einem Torus ergibt.
  • Mit dem Smash-Produkt kann man die sogenannte reduzierte Einhängung erhalten als:

Funktorielle Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Kategorie der punktierten topologischen Räume besitzt das Smash-Produkt folgende Eigenschaft, die analog zum Tensorprodukt von Moduln ist. Für lokalkompakt gilt die Adjunktionsformel

wobei den Raum der Basispunkt-erhaltenden stetigen Abbildungen versehen mit der kompakt-offenen Topologie bezeichnet. Wenn man für den Einheitskreis nimmt, so ergibt sich als Spezialfall, dass die reduzierte Einhängung links adjungiert zum Schleifenraum ist;.