Smash-Produkt

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Das Smash-Produkt bezeichnet eine topologische Konstruktion. Für zwei gegebene punktierte topologische Räume X und Y mit Basispunkten x0 und y0 betrachtet man zunächst den Produktraum X × Y mit der Identifizierung (x, y0) ∼ (x0, y) für alle xX und alle yY. Der Quotient von X × Y unter dieser Identifizierung heißt das Smash-Produkt von X und Y und wird mit XY bezeichnet. Es hängt in der Regel von den gewählten Basispunkten ab.

Wenn man den Raum X mit X × {y0} und Y mit {x0} × Y identifiziert, so schneiden sich X und Y in (x0, y0) und ihre Vereinigung liefert den Unterraum XY von X × Y. Das Smash Produkt ist dann der Quotient

X \wedge Y = X \times Y / X \vee Y.

Das Smash-Produkt ist vor allem in der Homotopie-Theorie wichtig, wo es die Homotopie-Kategorie zu einer symmetrischen monoidalen Kategorie macht, mit der 0-Sphäre (bestehend aus zwei Punkten) als neutralem Element. Das Smash-Produkt ist kommutativ bis auf Homotopie, d.h. XY und YX sind zwar nicht unbedingt homöomorph, aber homotop.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Das Smash-Produkt von zwei Sphären Sm und Sn ist homöomorph zur Sphäre Sm+n. Das Smash-Produkt von zwei Kreisen ist demnach eine 2-Sphäre, die sich als Quotient aus einem Torus ergibt.
  • Mit dem Smash-Produkt kann man die sogenannte reduzierte Einhängung erhalten als:
 \Sigma X = S^1 \wedge X .

Funktorielle Eigenschaften[Bearbeiten]

In der Kategorie der punktierten topologischen Räume besitzt das Smash-Produkt folgende Eigenschaft, die analog zum Tensorprodukt von Moduln ist. Für A lokalkompakt gilt die Adjunktionsformel

\mathrm{Stet}(X\wedge A,Y) \cong \mathrm{Stet}(X,\mathrm{Stet}(A,Y))\, ,

wobei Stet(A,Y) den Raum der Basispunkt-erhaltenden stetigen Abbildungen versehen mit der kompakt-offenen Topologie bezeichnet. Wenn man für A den Einheitskreis S1 nimmt, so ergibt sich als Spezialfall, dass die reduzierte Einhängung Σ links adjungiert zum Schleifenraum \Omega ist;.