Sorgenfrey-Gerade

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Die Sorgenfrey-Gerade ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Sorgenfrey-Gerade ist derjenige topologische Raum, der auf der Menge von allen halboffenen Intervallen als Basis erzeugt wird, das heißt die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle darstellbaren Mengen.

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ersetzt man die halboffenen Intervalle durch , so kann man eine analoge Konstruktion durchführen. Man erhält einen zur Sorgenfrey-Geraden homöomorphen Raum, ist offenbar ein Homöomorphismus.
  • Das Produkt heißt Sorgenfrey-Ebene und ist ebenfalls ein wichtiges Beispiel in der Topologie.

Beispiele offener Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alle Mengen der Form

sind offen. Daher sind die Mengen nicht nur offen, sondern wegen auch abgeschlossen, das heißt besitzt eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Intervall ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Geraden, denn

.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Sorgenfrey-Gerade hat folgende Eigenschaften:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]