Spektralfunktion (Modelltheorie)

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In der Modelltheorie, einem mathematischen Teilgebiet der Logik, ordnet die Spektralfunktion einer Kardinalzahl die Anzahl der nicht-isomorphen Modelle einer Theorie zu. Das Spektralproblem für eine Theorie ist, diese Werte zu finden.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Theorie, so ist die Anzahl der nicht isomorphen Modelle dieser Theorie. ist die Klasse aller Kardinalzahlen. Die Funktion

heißt Spektralfunktion. (Diese Funktion ist keine Menge, sondern eine echte Klasse)

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper (Algebra) einer festen Charakteristik, so ist

und für ist

Denn die Modelle werden genau durch ihren Transzendenzgrad beschrieben. Die abzählbaren Modelle sind genau die mit endlichem oder abzählbaren Transzendenzgrad, und für überabzählbare Transzendenzgrade bestimmt dieser schon die Kardinalität des Körpers.

Ist die Theorie von über der Sprache , so gilt:

Jede mächtige Teilmenge der irrationalen Zahlen bestimmt ein Modell dieser Theorie.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein bedeutet

dass die Theorie in dieser Kardinalzahl kategorisch ist.

Der Satz von Löwenheim-Skolem sagt für eine Theorie mit dass

Abschätzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit elementaren Überlegungen lässt sich zeigen, dass für eine Theorie über einer Sprache und gilt:

Diese Abschätzung ist die bestmögliche, für bestimmte und besteht Gleichheit.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie, Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5