Spektralradius

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Der Spektralradius ist ein Konzept in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis. Der Name erklärt sich dadurch, dass das Spektrum eines Operators in einer Kreisscheibe enthalten ist, deren Radius der Spektralradius ist.

Spektralradius von Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Spektralradius einer -Matrix ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts von , das heißt, ist definiert durch

.

Dabei durchläuft die höchstens verschiedenen Eigenwerte von . Der Spektralradius wird auch mit statt mit notiert.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede induzierte Matrixnorm von ist mindestens so groß wie der Spektralradius. Ist nämlich ein Eigenwert zu einem Eigenvektor von , dann gilt:

Allgemeiner gilt diese Abschätzung für alle mit einer Vektornorm verträglichen Matrixnormen. Weiterhin gibt es zu jedem mindestens eine induzierte Norm (die für verschiedene Matrizen unterschiedlich sein kann), sodass

gilt. Ferner gilt für jede induzierte Matrixnorm:

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Spektralradius ist beispielsweise bei Splitting-Verfahren von Bedeutung. Falls für eine invertierbare Matrix gilt, dann konvergiert die Iteration

für jeden Startvektor gegen die exakte Lösung des linearen Gleichungssystems .

Spektralradius in der Funktionalanalysis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff des Spektralradius kann allgemeiner auch für beschränkte lineare Operatoren auf Banachräumen definiert werden. Für einen beschränkten linearen Operator definiert man

,

wobei das Spektrum von ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da das Spektrum abgeschlossen ist, wird das Supremum angenommen, es liegt also ein Maximum vor.

Außerdem kann man auch hier zeigen, dass

gilt, wobei hier die Operatornorm meint.

Insbesondere ist der Spektralradius eines Operators auch, wie im Endlichdimensionalen, nie größer als die Norm des Operators, d. h.:

Ist ein normaler Operator auf einem Hilbertraum, dann gilt immer Gleichheit.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]