Spektrum (Topologie)

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Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie werden Spektren zur Definition verallgemeinerter Homologietheorien benutzt.

Definition[Bearbeiten]

Ein Spektrum ist eine Folge punktierter Räume E_nmit punktierten stetigen Abbildungen

\sigma_n\colon SE_n\to E_{n+1}.

Hierbei bezeichnet SE_n die reduzierte Einhängung von E_n.

Weil die reduzierte Einhängung linksadjungiert zur Bildung des Schleifenraums ist, entspricht \sigma_n einer bis auf Homotopie eindeutigen stetigen Abbildung E_n\to\Omega E_{n+1}. Ein Spektrum ist ein \Omega-Spektrum, wenn die Abbildungen E_n\to\Omega E_{n+1} Homöomorphismen sind.

Man findet in der Literatur auch andere Definitionen. Zum Beispiel werden die oben definierten Spektren als Präspektrum und die \Omega-Spektren dann als Spektrum bezeichnet. Mit diesen Bezeichnungen kann man jedem Präspektrum E_n durch colim_{k\to\infty}\Omega^kE_{n+k} ein Spektrum zuordnen, seine Spektrifizierung.

Ein Morphismus zwischen Spektren (E_n,\sigma_n) und (E_n^\prime,\sigma_n^\prime) ist eine Familie stetiger Abbildungen f_n\colon E_n\to E_n^\prime mit f_{n+1}\circ\sigma_n=\sigma_n^\prime\circ Sf_n für alle n.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Einhängungsspektren: Für einen topologischen Raum X bildet E_n:=S^nX mit den kanonischen Homöomorphismen \sigma_n\colon SE_n\to E_{n+1} ein Spektrum. Es wird als Einhängungsspektrum \Sigma^\infty X des Raumes X bezeichnet. Allgemeiner werden Spektren der Form \Sigma^k\Sigma^\infty X mit k\in\Z als Einhängungsspektren bezeichnet, wobei für ein Spektrum E=(E_n,\sigma_n) mit \Sigma^kE das Spektrum (E_{n+k},\sigma_{n+k}) gemeint ist.
  • Sphärenspektrum: Das Einhängungsspektrum der 0-dimensionalen Sphäre heißt Sphärenspektrum und wird mit \mathbf{S} bezeichnet. In diesem Fall ist also E_n=S^n und \sigma_n\colon SS^n\to S^{n+1} der kanonische Homöomorphismus.
  • Eilenberg-MacLane-Spektrum: Für eine abelsche Gruppe G bilden die Eilenberg-MacLane-Räume ein Spektrum mit E_n=K(G,n) und \sigma_n\colon SK(G,n)\to K(G,n+1) der durch den Satz von Whitehead gegebenen Homotopieäquivalenz. Dieses Spektrum wird auch mit HG bezeichnet.
  • Thom-Spektrum: Die Thom-Räume Th(\tau_n) der universellen Vektorbündel \tau_n\to BO(n) über den Graßmann-Mannigfaltigkeiten BO(n) bilden ein Spektrum MO(n). Die Strukturabbildung ist in diesem Fall die von der klassifizierenden Abbildung BO(n)\to BO(n+1) des Vektorbündels (\tau_n\oplus\underline{\R})\to BO(n) induzierte Abbildung \sigma_n:SMO(n)=STh(\tau_n)=Th(\tau_n\oplus\underline{\R})\to Th(\tau_{n+1})=MO(n+1).
  • Topologisches K-Theorie-Spektrum: Dieses Spektrum ist definiert durch E_{2n}=U, E_{2n+1}=\Z\times BU für alle n\in \N, wobei U die aufsteigende Vereinigung der unitären Gruppen und BU ihr klassifizierender Raum ist.
  • \Omega-Spektren: Sei X ein unendlicher Schleifenraum, dann definiert E_n=\Omega^{-n}X ein \Omega-Spektrum.
  • Algebraisches K-Theorie-Spektrum: Für einen kommutativen Ring R mit Eins ist X= BGL^+(R), die Anwendung der Plus-Konstruktion auf den klassifizierenden Raum von GL(R), ein unendlicher Schleifenraum und definiert deshalb ein \Omega-Spektrum.

Homotopiegruppen von Spektren[Bearbeiten]

Die k-te Homotopiegruppe eines Spektrums ist definiert durch

\pi_k(E):=colim_{n\to\infty}\pi_{n+k}E_n.

Die Homotopiegruppen eines Einhängungsspektrums E_n=S^nX werden als stabile Homotopiegruppen von X bezeichnet:

\pi_k^s(X):=\pi_k(\Sigma^\infty X).

Für \Omega-Spektren gilt bereits \pi_k(E)=\pi_k(E_0).

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die stabilen Homotopiegruppen der Sphären sind die Homotopiegruppen des Sphärenspektrums \mathbf{S}.
  • Die algebraische K-Theorie K_i(R) eines kommutativen Ringes R mit Eins erhält man für i\ge1 per Definition als Homotopiegruppen des algebraischen K-Theorie-Spektrums.
  • Die Kobordismusgruppe unorientierter n-Mannigfaltigkeiten ist isomorph zur n-ten Homotopiegruppe des Thom-Spektrums.

Äquivalenzen[Bearbeiten]

Für Morphismen von Spektren gilt das folgende Analogon zum Satz von Whitehead:

Ein Morphismus von Spektren induziert genau dann einen Isomorphismus aller Homotopiegruppen, wenn der induzierte Morphismus in der Homotopie-Kategorie der Spektren ein Isomorphismus ist. Solche Abbildungen heißen Äquivalenzen.

Verallgemeinerte Homologietheorien[Bearbeiten]

Ein Spektrum definiert eine (reduzierte) verallgemeinerte Homologietheorie durch

\tilde{E}_k(X):=\left[\Sigma^k\mathbf{S},E\wedge X\right],

wobei E\wedge X das mit Hilfe des Smash-Produktes durch (E\wedge X)_n:=E_n\wedge X definierte Spektrum bezeichnet.

Insbesondere ist \tilde{E}_k(S^0)=\pi_k(E).

Beispiel[Bearbeiten]

MO_k(X) ist isomorph zur Kobordismusgruppe singulärer k-Mannigfaltigkeiten in X.

Verallgemeinerte Kohomologietheorien[Bearbeiten]

Jedes Spektrum E definiert eine verallgemeinerte (reduzierte) Kohomologietheorie durch

\widetilde{E}^k(X):=colim_{n\to\infty}\left[S^nX,E_{n+k}\right]

für topologische Räume X, wobei \left[.,.\right] die Homotopieklassen punktierter stetiger Abbildungen bezeichnet. (Man sagt, die Kohomologietheorie wird durch das Spektrum dargestellt.)

Die zugehörige unreduzierte Kohomologietheorie wird mit E^*(X) bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten]

Das Eilenberg-MacLane-Spektrum K(G,n) definiert die singuläre Homologie H^*(X;G), das topologische K-Theorie-Spektrum definiert topologische K-Theorie.

Berechnung[Bearbeiten]

Verallgemeinerte Kohomologiegruppen E^* eines Raumes X können oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden. Diese ist eine gegen E^*(X) konvergierende Spektralsequenz mit E_2-Term

E_2^{pq}=H^p(X;E^q(X)),

wobei H^*(.;E^q(X)) singuläre Kohomologie mit Koeffizienten-Gruppe E^q(X) bezeichnet.

Brownscher Darstellbarkeitssatz[Bearbeiten]

Aus dem Brownschen Darstellbarkeitssatz folgt, dass sich jede reduzierte verallgemeinerte Kohomologietheorie durch ein \Omega-Spektrum darstellen lässt.

Smash-Produkt[Bearbeiten]

Für ein Spektrum E=(E_n,\sigma_n) und einen Raum X definiert man das Spektrum E\wedge X durch (E\wedge X)_n:=E_n\wedge X und die Strukturabbildungen \Sigma_n\vee id_X.

Es gibt eine auf Adams zurückgehende Konstruktion, die zwei Spektren E und F ein Smash-Produkt E\wedge F zuordnet, welches die folgenden Eigenschaften hat:

  • Das Smash-Produkt ist ein kovarianter Funktor beider Argumente.
  • Es gibt natürliche Äquivalenzen \alpha\colon(E\wedge F)\wedge G\to E\wedge (F\wedge G), \tau\colon E\wedge F\to F\wedge E, l\colon\mathbf{S}\wedge E\to E, r\colon E\wedge\mathbf{S}\to E, \Sigma\colon \Sigma E\wedge F\to\Sigma(E\wedge F).
  • Für jedes Spektrum E und jeden CW-Komplex X gibt es eine natürliche Äquivalenz e\colon E\wedge X\to E\wedge\Sigma^\infty X. Insbesondere \Sigma^\infty(X\wedge Y)\simeq \Sigma^\infty X\wedge\Sigma^\infty Y für alle CW-Komplexe X,Y.
  • Wenn f\colon E\to F eine Äquivalenz ist, dann auch f\wedge id_G\colon E\wedge G\to F\wedge G.
  • Für eine Familie \left\{E_\Lambda\right\} von Spektra ist \left\{i_\Lambda\wedge id_F\right\}\colon \vee_\Lambda(E_\Lambda\wedge F)\to (\vee_\Lambda(E_\Lambda))\wedge F eine Äquivalenz.
  • Wenn A\to B\to C eine Kofaserung von Spektra ist, dann auch A\wedge E\to B\wedge E\to C\wedge E.

Ringspektren[Bearbeiten]

Ein Ringspektrum ist ein Spektrum R mit einem Smash-Produkt \wedge und mit Morphismen

\mu\colon R\wedge R\to R, \epsilon\colon\mathbf{S}\to R,
 \alpha\colon R\wedge(R\wedge R)\to(R\wedge R)\wedge R, \lambda\colon\mathbf{S}\wedge R\to R,\rho\colon R\wedge\mathbf{S}\to R,

die den Bedingungen

\mu\circ(\mu\wedge id)\circ\alpha=\mu\circ (id\wedge\mu)\colon R\wedge(R\wedge R)\to R
\mu\circ(\epsilon\wedge id)=\lambda\colon\mathbf{S}\wedge R\to R, \mu\circ(id\wedge\epsilon)=\rho\colon R\wedge\mathbf{S}\to R

genügen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Spanier, E. H.; Whitehead, J. H. C.: A first approximation to homotopy theory. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 39, (1953). 655–660. pdf
  • Lima, Elon L.: Stable Postnikov invariants and their duals. Summa Brasil. Math. 4 1960 193–251.
  • Adams, J. F.: Stable homotopy and generalised homology. Reprint of the 1974 original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1995. ISBN 0-226-00524-0

Weblinks[Bearbeiten]