Spezielle lineare Gruppe

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Lineare Gruppen dienen in der Mathematik der Beschreibung von Symmetrien. Die spezielle lineare Gruppe vom Grad n über einem Körper (oder allgemeiner einem kommutativen, unitären Ring), , ist die Gruppe aller Matrizen mit Koeffizienten aus , deren Determinante 1 beträgt; diese werden auch unimodulare Matrizen genannt.[1] Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation

Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper die Menge der reellen oder der komplexen Zahlen ist, schreibt man auch .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die spezielle lineare Gruppe ist ein Normalteiler der allgemeinen linearen Gruppe .

Die Faktorgruppe ist isomorph zu , der Einheitengruppe von (für einen Körper ist gleich ). Der Beweis erfolgt über den Homomorphiesatz mit der Determinante als Homomorphismus.

Wichtige Untergruppen der sind für die spezielle orthogonale Gruppe und für die spezielle unitäre Gruppe .

Die spezielle lineare Gruppe über dem Körper oder ist eine Lie-Gruppe über der Dimension .

Die speziellen linearen Gruppen sind algebraische Gruppen, da die Bedingung, dass die Determinante gleich 1 sein muss, durch eine polynomiale Gleichung in den Matrix-Koeffizienten ausgedrückt werden kann.

Die spezielle lineare Gruppe beinhaltet alle orientierungstreuen und volumenerhaltenden linearen Abbildungen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Determinant. In: MathWorld (englisch).