Spirische Kurve

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Spirische Kurven als ebene Schnitte eines Torus

In der Geometrie ist eine spirische Kurve, auch spirische Kurve des Perseus oder spirische Linie genannt, eine ebene Kurve vierter Ordnung mit einer Gleichung der Form

Eine dazu äquivalente Definition ist:

Eine spirische Kurve ist der ebene Schnitt eines Torus mit einer Ebene, die parallel zur Rotationsachse ist.

Die letzte Definition gibt einem eine gute Vorstellung von der möglichen Gestalt einer spirischen Kurve. Die spirischen Kurven sind nicht alle möglichen Schnittkurven eines Torus mit einer Ebene. Sie enthalten aber die Cassinischen Kurven als Teilmenge und damit auch die Lemniskaten von Bernoulli. Auch die Lemniskaten von Booth sind spezielle spirische Kurven.

Spirische Kurven wurden zuerst von dem griechischen Geometer Perseus ca. 150 v. Chr. als ebene Schnitte eines Torus studiert. Der Name spirisch stammt von der damaligen griechischen Bezeichnung spira für den Torus her.[1][2]

Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schneidet man den Torus mit der Gleichung

mit der Ebene , so erhält man zunächst

.

Löst man die linke Klammer teilweise auf, so erhält man

mit:

,

Dies ist die Gleichung einer spirischen Kurve in den -Koordinaten.

In Polarkoordinaten ergibt sich

und hieraus die implizite Darstellung

.
Spirische Kurven auf einem Spindeltorus

Spirische Kurven auf einem Spindeltorus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spirische Kurven eines Spindeltorus, deren Ebenen auch die Spindel (den inneren Teil) schneiden, bestehen aus einer äußeren und einer inneren Kurve (s. Bild).

Spirische Kurven als isoptische Kurven[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Isoptische Kurven von Ellipsen und Hyperbeln sind spirische Kurven. (Siehe auch: Weblink The Mathematics Enthusiast.)

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Kuno Fladt, Arnold Baur: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven (= Sammlung Vieweg. Band 136). Vieweg Verlag, Braunschweig 1975, ISBN 978-3-528-08278-9, S. 94 (MR0430974).
  • Gino Loria: Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. Theorie und Geschichte. Erster Band: Die algebraischen Kurven (= B. G. Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen. V,1). 2. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Leipzig, Berlin 1910, S. 124–127.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. John Stillwell: Mathematics and Its History. Springer-Verlag, 2010, ISBN 978-1-4419-6053-5, S. 33.
  2. Wilbur Richard Knorr: The Ancient Tradition of Geometric Problems. Dover-Publ., New York 1993, ISBN 0-486-67532-7, S. 268.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]