Splitting-Verfahren

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Dieser Artikel befasst sich mit dem Splitting-Verfahren der numerischen Mathematik. Davon zu unterscheiden sind Splittingverfahren im Steuer- und Abgabenrecht wie zum Beispiel das deutsche Ehegattensplitting.

In der numerischen Mathematik sind Splitting-Verfahren iterative Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit einer Matrix und rechter Seite Im Unterschied zu direkten Verfahren nähert man sich dabei ausgehend von einer Startnäherung schrittweise der gesuchten Lösung an und bricht ab, falls die Genauigkeit hoch genug ist.

Beschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Verfahren ergibt sich über ein Splitting der Systemmatrix mit einer invertierbaren Matrix .

Daraus erhält man die Fixpunktgleichung

.

Mit , wobei die Einheitsmatrix bezeichnet, ergibt sich die Fixpunktiteration

  1. Wähle einen Startvektor .
  2. Setze .

Man kann die Iteration abbrechen, falls die Norm des Residuums eine vorgegebene Fehlerschranke unterschreitet. Das Verfahren konvergiert genau dann, wenn der Spektralradius der Matrix kleiner 1 ist. Mit Hilfe des banachschen Fixpunktsatzes folgt ferner die lineare Konvergenzgeschwindigkeit der gesamten Verfahrensklasse. Je kleiner der Spektralradius ist, umso schneller konvergiert das Verfahren. Falls sich und nur wenig unterscheiden, kann man mit dem Störungslemma zeigen, dass auch der Spektralradius von klein ist. Damit ergibt sich ein Gegensatz von schneller Konvergenz ( approximiert sehr gut) zu geringen Kosten pro Iteration ( ist einfach invertierbar). Insgesamt sind diese Verfahren für viele praktische Probleme zu langsam. Allerdings stellen sie aufgrund ihrer einfachen Anwendbarkeit gute Vorkonditionierer dar. Darüber hinaus sind viele Splitting-Verfahren als Glätter in einem Mehrgitterverfahren geeignet.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Modifikationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man unterscheidet zwischen stationären Verfahren mit konstanter Iterationsmatrix und instationären Verfahren, wo die Matrizen vom Index abhängen dürfen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • A. Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, 2. Auflage, Vieweg 2005, ISBN 3528131357