Sporadische Gruppe

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Die sporadischen Gruppen sind 26 spezielle Gruppen in der Gruppentheorie. Es handelt sich um die endlichen einfachen Gruppen, die sich nicht in eine der (18) Familien mit unendlich vielen Mitgliedern (von endlichen einfachen Gruppen) einordnen lassen.

Entdeckungsgeschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten fünf entdeckten sporadischen Gruppen, die sogenannten Mathieugruppen, wurden von Émile Mathieu in den Jahren 1862 und 1873 entdeckt. Die Entdeckungsgeschichte aller anderen sporadischen Gruppen setzte erst 1964 ein.

Die früheste Erwähnung des Begriffes „sporadische Gruppe“ dürfte von Burnside 1911, bezugnehmend auf die damals bereits bekannten Mathieugruppen, stammen: These apparently sporadic simple groups would probably repay a closer examination than they have yet received.

Einteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hasse-Diagramm der 26 sporadischen Gruppen.
Eine von X zu Y aufsteigende Linie bedeutet:
      X ist Subquotient von Y

Im nebenstehenden Hasse-Diagramm sind zwei Gruppen X und Y, die zueinander in der Relation X ist Subquotient von Y stehen, durch eine Linie von unten nach oben verbunden.[1] Gruppen ohne Linie nach oben, also maximale bezüglich der Relation, tragen einen Kringel. Da die Relation transitiv ist, sind implizierte Verbindungslinien weggelassen. Des Weiteren zeigt das Diagramm der Übersicht halber als Subquotienten nur einfache Gruppen X, zudem nur solche, zu denen es keinen echt zwischen X und Y liegenden, einfachen Subquotienten gibt.

20 der 26 sporadischen Gruppen sind Subquotienten der Monstergruppe M, von Robert Griess Friendly Giant[2] (deutsch: freundlicher Riese) genannt. Diese 20 Gruppen werden nach Griess unter dem Namen Happy Family (deutsch: Glückliche Familie) zusammengefasst.[3] Letztere gliedert sich in drei Generationen, wobei die erste Generation mit dem erweiterten binären Golay-Code und die zweite mit dem Leech-Gitter bzw. Automorphismengruppen davon in Zusammenhang steht. Zur ersten Generation gehören die fünf Mathieugruppen, zur zweiten Generation die Conwaygruppen Co1 bis Co3, J2, McL, HS. Die dritte Generation ist nahe verwandt mit M und enthält die übrigen Gruppen der Happy Family.

Die sechs sporadischen Gruppen, die nicht Subquotienten der Monstergruppe sind, sind die Jankogruppen J1, J3 und J4, die O’Nan-Gruppe (O’N), die Rudvalisgruppe (Ru) und die Lyonsgruppe (Ly). Sie werden bei Griess Parias (engl. pariah) genannt (in der Tabelle die Generation –).

Teilweise wird auch die nach dem belgisch-französischen Mathematiker Jacques Tits benannte Tits-Gruppe 2F4(2)′ der Ordnung 17.971.200 als eine sporadische Gruppe angesehen, weil sie nicht im strengen Sinn eine Gruppe vom Lie-Typ sei. Mit ihrer Zugehörigkeit zur unendlichen Familie 2F4(22n+1)′ von endlichen einfachen Gruppen, die für n>0 mit der Familie 2F4(22n+1) von Gruppen (vom Lie-Typ) übereinstimmt, ist sie im strengen Sinn aber keine sporadische Gruppe.[4][5]

Tabelle der 26 sporadischen Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Name Symbole[6] Entdecker Jahr Gene-
ration
Ordnung
(zirka)
Ordnung
(als Dezimalzahl Folge A001228 in OEIS)
Ordnung
(in Primzerlegung)
Mathieugruppe M11 M11 Mathieu 1861 1 8·103 7.920 24·32·5·11
Mathieugruppe M12 M12 Mathieu 1861 1 1·105 95.040 26·33·5·11
Mathieugruppe M22 M22 Mathieu 1861 1 4·105 443.520 27·32·5·7·11
Mathieugruppe M23 M23 Mathieu 1861 1 1·107 10.200.960 27·32·5·7·11·23
Mathieugruppe M24 M24 Mathieu 1861 1 2·108 244.823.040 210·33·5·7·11·23
Jankogruppe J1 J1 Janko 1964 2·105 175.560 23·3·5·7·11·19
Jankogruppe J2 J2, HJ Janko 1966 2 6·105 604.800 27·33·52·7
Jankogruppe J3 J3 Janko 1966 5·107 50.232.960 27·35·5·17·19
Jankogruppe J4 J4 Janko 1975 9·1019 86.775.571.046.077.562.880 221·33·5·7·113·23·29·31·37·43
Higman-Sims-Gruppe HS Higman, Sims 1967 2 4·107 44.352.000 29·32·53·7·11
Conwaygruppe Co1 Co1, C1 Conway 1968 2 4·1018 4.157.776.806.543.360.000 221·39·54·72·11·13·23
Conwaygruppe Co2 Co2, C2 Conway 1969 2 4·1013 42.305.421.312.000 218·36·53·7·11·23
Conwaygruppe Co3 Co3, C3 Conway 1969 2 5·1011 495.766.656.000 210·37·53·7·11·23
Heldgruppe He Held 1969 3 4·109 4.030.387.200 210·33·52·73·17
McLaughlin-Gruppe McL, Mc McLaughlin 1969 2 9·108 898.128.000 27·36·53·7·11
Suzukigruppe Suz Suzuki 1969 2 4·1011 448.345.497.600 213·37·52·7·11·13
Fischergruppe F22 Fi22, M(22) Fischer 1976 3 6·1013 64.561.751.654.400 217·39·52·7·11·13
Fischergruppe F23 Fi23, M(23) Fischer 1976 3 4·1018 4.089.470.473.293.004.800 218·313·52·7·11·13·17·23
Fischergruppe F24 Fi24′, Fi24, M(24) Fischer 1976 3 1·1024 1.255.205.709.190.661.721.292.800 221·316·52·73·11·13·17·23·29
Lyonsgruppe Ly Lyons 1973 5·1016 51.765.179.004.000.000 28·37·56·7·11·31·37·67
Rudvalisgruppe Ru Rudvalis 1973 1·1011 145.926.144.000 214·33·53·7·13·29
Baby-Monstergruppe B, F2 Fischer ca. 1970 3 4·1033 4.154.781.481.226.426.191.177.580.544.000.000 241·313·56·72·11·13·17·19·23·31·47
O’Nan-Gruppe O’N O’Nan 1976 4·1011 460.815.505.920 29·34·5·73·11·19·31
Thompsongruppe Th, F3 Thompson 1976 3 9·1016 90.745.943.887.872.000 215·310·53·72·13·19·31
Harada-Norton-Gruppe HN, F5 Harada, Norton, Smith 1976 3 3·1014 273.030.912.000.000 214·36·56·7·11·19
Monstergruppe M, F1 Fischer, Griess 1976 3 8·1053 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000 246·320·59·76·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. zusammengestellt hauptsächlich aus Griess2 S. 94
  2. F1 in Griess2
  3. s. Griess2
  4. Genauso wenig wie die Gruppen von Primzahlordnung oder die größeren alternierenden Gruppen vom Lie-Typ sind, jedoch endlich und einfach sind – und als Mitglieder einer unendlichen Familie nicht sporadisch.
  5. In Eric W. Weisstein „Tits Group“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource trägt sie das Attribut sporadisch, wird jedoch in Eric W. Weisstein „Sporadic Group“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource nicht unter den 26 aufgeführt.
  6. Das erste Symbol wird im #Atlas als einziges geführt.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]