Stack (Kategorientheorie)

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In der algebraischen Topologie versteht man unter einem Stack (englisch für „Stapel“) eine (auf eine bestimmte Art) kategorifizierte Garbe. Die Kategorifizierung besteht aus zwei Schritten: der Kategorifizierung einer Prägarbe und der des Abstiegsaxioms, dessen Erfüllung eine Prägarbe zu einer Garbe macht.

Für einen topologischen Raum sei die Kategorie, deren Objekte surjektive stetige Abbildungen sind, und deren Morphismen surjektive stetige Abbildungen sind, so dass gilt.

  • Eine Prägarbe über in einer Kategorie ist ein kontravarianter Funktor . Für jeden Morphismus und ein Pullback

bekommt man ein induziertes kommutierendes Diagramm

(mit umgedrehten Pfeilen). Gemäß der universellen Eigenschaft eines Pullbacks

gibt es einen eindeutigen Morphismus in der Kategorie .

  • Das Abstiegsaxiom für die Prägarbe lautet: Für jedes ist der Morphismus ein Isomorphismus.

Man kann sich nun überlegen, dass diese Definitionen mit den eher gebräuchlichen aus dem Artikel über Garben übereinstimmt. Sie erlauben jedenfalls eine Kategorifizierung in natürlicher Art und Weise: Kategorien werden 2-Kategorien, Funktoren werden 2-Funktoren, Objekte werden Kategorien, Morphismen werden Funktoren, und Gleichungen von Morphismen werden natürliche Äquivalenzen. Dabei wird die Kategorie zu einer 2-Kategorie, indem man nur Identitäten als 2-Morphismen zulässt.

Damit ergeben sich die folgenden Definitionen:

  • Eine gefaserte Kategorie über in einer 2-Kategorie ist ein kontravarianter 2-Funktor .
  • Das Abstiegsaxiom für eine gefaserte Kategorie lautet: Für jeden 1-Morphismus ist der Funktor eine Äquivalenz von Kategorien.
  • Ein Stack ist eine gefaserte Kategorie, die das Abstiegsaxiom erfüllt.

Bemerkung: Eigentlich sollte eine gefaserte Kategorie „Prä-Stack“ heißen, aber dieser Begriff ist bereits durch eine etwas andere, nicht-äquivalente Definition belegt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]