Starrer Körper

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Der starre Körper ist in der klassischen Mechanik ein Modell eines nicht verformbaren Körpers. Der Körper kann eine kontinuierliche Massenverteilung aufweisen oder ein System von diskreten Massenpunkten sein (z. B. Atome, Moleküle in der Quantenmechanik). Die Nichtverformbarkeit ist eine Idealisierung, bei der zwei beliebige Punkte des Körpers unabhängig von äußeren Kräften immer den gleichen Abstand zueinander besitzen, also keinerlei Durchbiegung oder innere Schwingung auftritt.

Die Mechanik starrer Körper befasst sich mit der Bewegung starrer Körper unter dem Einfluss äußerer Kräfte. Ein wichtiges Teilgebiet ist die Statik starrer Körper, die sich mit ruhenden, starren Körpern befasst. Durch die Modellvoraussetzungen treten in der Mechanik starrer Körper ausschließlich Bewegungen des gesamten Körpers in eine Richtung (Translationsbewegungen) und Rotationsbewegungen auf, in der Statik starrer Körper treten i.A. auch keine Starrköperverschiebungen auf. Zusätzliche Bewegungsformen, wie Schwingungen einzelner Massenpunkte oder Verformungen des Körpers, werden durch die allgemeinere Mechanik fester Körper behandelt.

Die Modellvorstellung des starren Körpers findet vielfache Anwendung, insbesondere in der Technischen Mechanik in den Teilgebieten der Statik und der Kinematik, sowie als Anwendung in der Robotik, der Auslegung von Fahrwerken und Motoren, siehe Mehrkörpersystem und Mehrkörpersimulation. In der Realität gibt es keine starren Körper, da sich jeder Körper unter der Einwirkung von Kräften verformt. Häufig sind diese jedoch so gering, dass sie für Berechnungen vernachlässigt werden können. Falls die Verformungen nicht vernachlässigt werden können oder selbst berechnet werden sollen, werden Methoden der Elastizitätstheorie, der Kontinuumsmechanik, Plastizitätstheorie oder der Festigkeitslehre angewandt.

Typologie starrer Körper und Systeme mehrerer starrer Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Technischen Mechanik gibt es zahlreiche Varianten des starren Körpers, die sich in ihrer Ausdehnung und ihren Belastungen unterscheiden. Außerdem gibt es noch zusammengesetzte starre Körper.[1][2][3]

Annähernd eindimensionale Körper sind Balken und Stab. Bei ihnen ist die Länge deutlich größer als die Breite oder Tiefe.

  • An einem Stab greifen nur Zug- oder Druckkräfte an.
  • An einem Balken können auch Querkräfte und Momente angreifen die ihn verbiegen oder tordieren (verdrillen).
  • Gekrümmte Balken werden als Bogen bezeichnet.
  • Werden mehrere Stäbe oder Balken zusammengesetzt mit einer Verbindung die ebenfalls starr ist, so erhält man einen Rahmen. Manchmal werden auch gelenkige Verbindungen von Balken als Rahmen bezeichnet.

Flächige Körper sind:

  • Die Scheibe bei der sämtliche auftretenden Kräfte oder Momente in der Ebene liegen in der sich die Scheibe befindet, beispielsweise eine Mauer die durch ihr Eigengewicht belastet wird.
  • Die Platte, bei der der die Kräfte oder Momente in einem beliebigen Winkel angreifen. Dazu zählt eine Mauer wenn Seitenwinde sie belasten.
  • Die Schale die nicht eben ist, sondern gekrümmt. Ein Spezialfall ist die Membran

Wenn einzelne starre Körper durch Gelenke miteinander verbunden werden, so spricht man von einem System starrer Körper.

Reine Drehung eines starren Körpers[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rotation eines Zylinders um zwei Achsen und Addition der Winkelgeschwindigkeit.

Wird die Drehachse festgelegt, so bleibt der Drehwinkel als einziger Freiheitsgrad der Rotation. Die Rotation wird durch die Winkelgeschwindigkeit beschrieben. Diese Größe lässt sich als Vektor schreiben und mit Ort und Bahngeschwindigkeit eines Punktes verknüpfen:

Diese Gleichung gilt genau dann, wenn als Richtung des Vektors die Rotationsachse gewählt wird. In Richtung des Vektors gesehen findet dabei die Rotation im Uhrzeigersinn statt (wie bei der Korkenzieherregel).

Wenn ein Körper um zwei Achsen rotiert, lassen sich für beide Achsen Vektoren zur Winkelgeschwindigkeit definieren. Ihre Summe ergibt dann die Gesamtrotation des Körpers. Es findet also insgesamt nur eine Rotation um eine Achse statt. Damit ist gewährleistet, dass die Winkelgeschwindigkeit als Vektor additiv ist und es daher sinnvoll ist, diese Größe als Vektor darzustellen.

Allgemeine Bewegungen starrer Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geschwindigkeitsfeld (schwarz) eines Starrkörpers (grau) entlang seines Weges (hellblau) setzt sich zusammen aus der Schwerpunktsgeschwindigkeit (blau) und der Drehgeschwindigkeit (rot)

Die Bewegung des Körpers lässt sich in eine gleichmäßige Translation aller Partikel des Körpers (und damit auch des Körperschwerpunkts) und eine Rotation zerlegen, siehe Bild. Die Translation werde durch die Bewegung eines Bezugspunkts beschrieben (blau im Bild), um den sich der Starrkörper dreht.

Im drei-dimensionalen führt die Berechnung der Geschwindigkeit eines sich zur Zeit t am Ort befindlichen Partikels des Starrkörpers auf die eulersche Geschwindigkeitsgleichung:

Die Beschleunigung ergibt sich zu:

Dabei ist die Winkelgeschwindigkeit, die Winkelbeschleunigung des starren Körpers und die Beschleunigung des Bezugspunkts. Das Argument des Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfeldes ist ein Raumpunkt und darf keineswegs mit dem Partikel verwechselt werden, das sich dort aufhält.

Die Herleitung dieser in eulerscher Fassung vorliegenden Bewegungsgleichungen gelingt in der lagrangeschen Betrachtungsweise wie folgt.

Sei die Bewegungsfunktion, die den Raumpunkt angibt, an dem sich ein Partikel P des Starrkörpers zur Zeit t aufhält. Für ein festgehaltenes Partikel P beschreibt seine Bahnlinie durch den Raum. Sei S der Bezugspunkt, dessen Bahnlinie mit gegeben ist. Die Verbindungslinie des Partikels P zum Bezugspunkt S führt eine Drehung aus, die mit einer orthogonalen Abbildung (Drehmatrix im Koordinatenraum oder eigentlich Orthogonaler Tensor im euklidischen Vektorraum ) beschrieben werden kann:

Der Vektor (im Bild kurz mit bezeichnet) weist zu einem bestimmten Zeitpunkt vom Bezugspunkt S zum Partikel P. Der Zeitpunkt ist willkürlich gewählt aber fest. Entsprechend ist mit der Einheitsmatrix 1 und für jede Drehmatrix gilt ferner . Die Bewegungsfunktion des Partikels P lautet damit:

Die Geschwindigkeit des Parikels ergibt sich durch die Ableitung nach der Zeit, die wie üblich mit einem aufgesetzten Punkt notiert wird:

Die Winkelgeschwindigkeitsmatrix ist wegen

schiefsymmetrisch und besitzt im drei-dimensionalen Raum einen dualen Vektor für den gilt:

Mit diesem dualen Vektor, der hier die Winkelgeschwindigkeit darstellt, ergibt sich das Geschwindigkeitsfeld in lagrangescher Fassung zu:

Die Geschwindigkeit des Parikels P am Ort ist also , was in eulerscher Betrachtungsweise auf die eulersche Geschwindigkeitsgleichung führt:

Die Zeitableitung des Geschwindigkeitsfelds in lagrangescher Fassung ergibt:

oder in drei Dimensionen mit dem dualen Vektor:

Die Beschleunigung des Parikels P am Ort ist also , was in eulerscher Betrachtungsweise wie oben bereits angegeben so geschrieben werden kann:

Hier wird die obige Aussage deutlich: Das Argument des Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfeldes ist ein Raumpunkt und nicht das Partikel P, das sich dort aufhält.

Freiheitsgrade und Konfigurationsraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eulersche Winkel zur Beschreibung der Orientierung eines flugzeugfesten Koordinatensystems

Die Freiheitsgrade eines n-Teilchen-Systems bilden einen sogenannten Konfigurationsraum. Dieser setzt sich bei starren Körpern aus drei Freiheitsgraden bezüglich der Position und drei weiteren bezüglich der Orientierung zusammen. Neben verschiedenen ortsfesten Koordinatensystemen, die eine Beschreibung der Position erlauben, bieten die Eulerschen Winkel eine Möglichkeit zur Beschreibung der Orientierung, die besonders in der Luft- und Raumfahrt eine wichtige Rolle einnimmt.

Zur Anschauung kann ein freier Körper wie ein (kunstflugtaugliches) Flugzeug herangezogen werden, welches drei Freiheitsgrade einer geradlinigen Bewegung besitzt, da es sich frei in drei Raumdimensionen bewegen kann. Hinzu kommen drei weitere Freiheitsgrade der Drehungen um räumliche (unabhängige) Drehachsen.

Offensichtlich vermindert nun jede Einschränkung der Bewegungmöglichkeit die Anzahl der Freiheitsgrade. Wird beispielsweise ein Massenpunkt des starren Körpers räumlich fixiert, so kann man in diesen den Ursprung des Bezugssystems legen. Damit fallen die drei Freiheitsgrade der Translation weg. Dadurch reduziert sich die Bewegung auf eine reine Änderung der Orientierung und es bleiben nur mehr drei Freiheitsgrade. Wird ein weiterer Punkt festgehalten, so kann der Körper nur noch um eine raumfeste Drehachse rotieren und hat damit nur noch einen Freiheitsgrad, nämlich die Rotation um diese Achse. Legt man schließlich noch einen dritten Punkt des Körpers fest, der sich nicht auf der Achse der ersten zwei Punkte befindet, so verliert er auch den letzten Freiheitsgrad und ist damit bewegungslos. Jede weitere räumliche Fixierung von Punkten führt nunmehr zu einer sogenannten statischen Überbestimmtheit, die in der Statik eine wichtige Rolle spielt.

Ansätze zur Bestimmung der Bewegungsgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach der Modellvoraussetzung gelten konstante Distanzen zwischen den Teilchen. Aus dem Schwerpunktsatz lassen sich nun einige Folgerungen ziehen:

  • Für die Wirkung eines Systems äußerer Kräfte auf einen starren Körper sind nur die resultierende Kraft und das resultierende Drehmoment entscheidend. Alle Kräftesysteme mit gleichen Resultierenden sind somit in ihrer Wirkung äquivalent.
  • Der Trägheitstensor eines starren Körpers ist bezüglich eines körperfesten Schwerpunktsystems konstant.

Häufig werden dem Modell zudem weitere Idealisierungen zugrunde gelegt, die es erlauben sogenannte Erhaltungssätze zur Bestimmung der Bewegungsgleichung einzuführen:

Wird ein abgeschlossenes System angenommen, so folgt aus dem Impulserhaltungssatz, dass der vektorielle Impuls des Systems bezüglich seines Schwerpunktes konstant ist:

Aus dem Drehimpulserhaltungssatz folgt, dass der vektorielle Gesamtdrehimpuls des Systems bezüglich seines Schwerpunktes konstant ist:

In den beiden Formeln bezeichnen

  • die Masse des Körpers,
  • den Schwerpunkt des Körpers,
  • den Trägheitstensor des starren Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und
  • () die vektorielle Winkelgeschwindigkeit zum Zeitpunkt

In nicht abgeschlossenen Systemen entspricht die Änderung des Impulses der von außen angreifenden, resultierenden Kraft und es gilt das zweite Newtonsche Gesetz:

Weiter ist die Änderung des Drehimpulses gleich dem von außen angreifenden, resultierenden Moment und bezüglich des Schwerpunkts des Körpers gilt die Eulersche Gleichung:

Wird ein konservatives Kraftfeld zugrunde gelegt, so folgt aus dem Energieerhaltungssatz, dass die mechanische Gesamtenergie konstant ist:

Dabei bezeichnen:

  • die Translationsenergie und
  • die Rotationsenergie, die beide zusammen die kinetische Energie des Körpers zum Zeitpunkt bilden, und
  • ist die potentielle Energie zum Zeitpunkt .

Eine Formänderungsenergie, die bei nicht starren, elastischen Körpern noch zu addieren wäre, entfällt hier per definitionem.

Eindeutigkeit der Winkelgeschwindigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig davon, welcher Punkt als Bezugspunkt der Starrkörperbewegung gewählt wird. Wenn also zwei verschiedene Formulierungen

für dieselbe Bewegung vorliegen, dann ist – zumindest in nicht eindimensionalen Körpern. Denn die Geschwindigkeit des ersten Bezugspunkts kann mit dem zweiten Geschwindigkeitsfeld ausgedrückt werden:

Vergleich der Geschwindigkeitsfelder zeigt:

Bei verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten muss also für alle Punkte im Körper sein, was nur in ein-dimensionalen Körpern der Fall sein kann. Bei flächigen oder voluminösen Körpern müssen die Winkelgeschwindigkeiten übereinstimmen: .

Bornsche Starrheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Bornsche Starrheit

Das Konzept des starren Körpers ist inkonsistent mit den Vorhersagen der Relativitätstheorie, da nach ihm stets der gesamte Körper auf Kräfte und Drehmomente gleichzeitig reagiert, was impliziert, dass ihre Wirkungen sich innerhalb des Körpers mit unendlicher Geschwindigkeit ausbreiten, insbesondere also schneller als mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c. Bei realen Körpern breiten sich Wirkungen hingegen üblicherweise mit der für den Körper spezifischen Schallgeschwindigkeit aus, die weit unterhalb von c liegt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Gross et. al.: Technische Mechanik, Springer, 11. Auflage, S. 117.
  2. Mahnken: Technische Mechanik, Springer, 2012, S. 224.
  3. Dinkler: Grundlagen der Baustatik, Springer, 4. Auflage, S. 15-18.