Steinitzscher Umordnungssatz

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Der steinitzsche Umordnungssatz (nach Ernst Steinitz) ist ein Satz aus der mathematischen Analysis, der sich mit der Umordnung von Reihen befasst. Während beliebige Umordnungen innerhalb endlicher Summen auf Grund des Kommutativgesetzes und des Assoziativgesetzes keinen Einfluss auf das Ergebnis der Summenbildung haben, ist dies bei unendlichen Summen nicht mehr gewährleistet. Der hier behandelte steinitzsche Umordnungssatz macht eine Aussage über die Struktur der Menge der Summen, die man durch Umordnung bilden kann. Er verallgemeinert den riemannschen Umordnungssatz, der für reelle Reihen gilt, auf Reihen im .

Konvergenzbegriffe für Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Umordnung von Reihen

Im kann man wie in den reellen Zahlen von Konvergenz sprechen, denn durch die übliche euklidische Norm hat man einen Abstandsbegriff.

Es sei nun eine Folge von Vektoren im . Wenn der Grenzwert der Partialsummen im existiert, so schreibt man für diesen Grenzwert und sagt, die Reihe sei konvergent. Man beachte, dass für die Reihe und ihren Grenzwert dieselbe Bezeichnung verwendet wird.

Jede Permutation definiert eine Umordnung, indem man von der Folge zur Folge übergeht. Man nennt eine konvergente Umordnung der Reihe, wenn die umgeordnete Reihe konvergiert. Man sagt, die Reihe sei unbedingt konvergent, wenn jede Umordnung der Reihe konvergent ist.

Die Reihe heißt bedingt konvergent, wenn sie konvergent, aber nicht unbedingt konvergent ist. Schließlich heißt die Reihe absolut konvergent, wenn gilt.

Konvergenzfunktionale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein lineares Funktional heißt ein Konvergenzfunktional für die Folge , falls ist. So ist z. B. das Nullfunktional ein Konvergenzfunktional für jede Folge. Leicht überlegt man sich, dass die Menge aller Konvergenzfunktionale ein Untervektorraum im Dualraum, d. h. im Raum der linearen Funktionale, ist. Dieser Unterraum der Konvergenzfunktionale wird mit bezeichnet, der Annihilator von mit .

Satz von Steinitz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine konvergente Reihe. Dann stimmt mit dem affinen Unterraum überein.

Zusatz: Besteht dieser affine Raum aus mehr als einem Punkt, so gibt es nicht-konvergente Umordnungen.

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Satz über konvergente Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe des Satzes von Steinitz kann man leicht zeigen, dass folgende Aussagen über eine konvergente Reihe im äquivalent sind:

  • Die Reihe ist absolut konvergent.
  • Die Reihe ist unbedingt konvergent.
  • .
  • Jedes lineare Funktional ist ein Konvergenzfunktional für die Reihe.

Der riemannsche Umordnungssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Riemannscher Umordnungssatz

Da jeder nicht-leere affine Unterraum von entweder aus einem Punkt besteht oder mit zusammenfällt, erhält man den riemannschen Umordnungssatz als Spezialfall des steinitzschen Umordnungssatzes.

Der unendlich-dimensionale Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Umordnung von Reihen

In unendlich-dimensionalen Räumen gelten die hier aufgestellten Konvergenzaussagen für Reihen nicht mehr. In unendlich-dimensionalen Banachräumen gibt es Reihen mit zweielementigen Summenmengen. Man muss zusätzliche Voraussetzungen über die Reihen machen, um zu einer Aussage wie im steinitzschen Umordnungssatz zu gelangen.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • E. Steinitz: Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme. Journal für die reine und angewandte Mathematik 143 (1913), 128-175, 144 (1914), 1-40, 146 (1915), 1-52.
  • M. I. Kadets, V. M. Kadets: Series in Banach Spaces. Operator Theory: Advances and Applications, Bd. 94, Birkhäuser (1997), ISBN 978-3764354015.
  • Israel Halperin: Sums of a series, permitting rearrangements. C.R.Math. Acad.Sci., Soc. R. Can., 8: S. 87-102, 1986.