Stetigkeit

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Stetig)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Dieser Artikel behandelt den Begriff der Stetigkeit in der Mathematik. Für andere Bedeutungen siehe Kontinuität.

Die Stetigkeit (Kontinuität) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in den Teilgebieten der Analysis und der Topologie von zentraler Bedeutung ist. Eine Funktion heißt stetig (kontinuierlich), wenn hinreichend kleine Änderungen des Argumentes (der Argumente) zu beliebig kleinen Änderungen des Funktionswertes führen. Eine auf einem topologischen Raum definierte stetige Funktion mit Funktionswerten in einem metrischen Raum zeichnet sich also dadurch aus, dass in keinem ihrer Argumente die Oszillation größer Null ist. Das heißt insbesondere, dass bei stetigen reellen Funktionen keine Sprungstellen auftreten.[1]

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graphische Veranschaulichung einer unstetigen reellen Funktion

Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden: Eine reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall ist stetig, wenn der Graph der Funktion ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Die Funktion darf insbesondere keine Sprungstellen haben. Diese Aussage ist keine Definition, weil einerseits unklar ist, wie ohne Absetzen des Stiftes zeichnen in mathematischen Begriffen ausgedrückt werden könnte. Andererseits gibt es sowohl stetige Funktionen, deren Graphen Sprünge aufweisen (Bsp.: ), als auch unstetige Funktionen, deren Graphen keine Sprünge im anschaulichen Sinne aufweisen (Bsp. Dirichlet-Funktion: zwei parallele, durchgezogene Linien). Trotzdem entspricht sie ungefähr der Bedeutung der Stetigkeit und ist daher für die Anschauung sehr nützlich.

Augustin-Louis Cauchy und Bernard Bolzano gaben Anfang des 19. Jahrhunderts unabhängig voneinander eine Definition der Stetigkeit. Sie nannten eine Funktion stetig, wenn hinreichend kleine Änderungen des Arguments nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts nach sich zögen. Dies war bereits eine exakte Definition, die aber in ihrer praktischen Anwendung gewisse Fragen offenlässt. Das heutzutage übliche ε-δ-Kriterium wurde von Karl Weierstraß am Ende des 19. Jahrhunderts eingeführt.

Es sagt in Worten etwa: Die Funktion ist in einem Punkt stetig, wenn es zu jeder Umgebung seines Bildpunktes eine Umgebung von gibt, die durch ganz in die Umgebung abgebildet wird.

Stetigkeit reeller Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für reelle Funktionen mit sind mehrere äquivalente Definitionen der Stetigkeit üblich:

Veranschaulichung der ε-δ-Definition: für ε = 0,5 erfüllt δ := 0,5 die Stetigkeitsbedingung.
Beispiel zum Folgenkriterium: Die Folge exp(1/n) konvergiert gegen exp(0)
Epsilon-Delta-Kriterium[2]
Die Funktion ist stetig in , wenn zu jedem ein existiert, so dass für alle mit gilt: .
Intuitiv bedeutet dies, dass man für jede noch so kleine -Umgebung des Funktionswerts eine -Umgebung von so wählen kann, dass alle Argumente aus der -Umgebung zu Funktionswerten in der -Umgebung führen.
Folgenkriterium[3]
Die Funktion ist stetig in , wenn für jede Folge mit Elementen , die gegen konvergiert, die Folge gegen konvergiert.
Kurz: Aus folgt stets .
Limeskriterium[4]
Eine Funktion ist stetig in genau dann, wenn der Grenzwert von für existiert und gilt oder wenn ein isolierter Punkt ist.
Topologisches Kriterium[5]
Eine Funktion ist stetig in genau dann, wenn für jede Umgebung von das Urbild eine Umgebung von ist.
Definition über die Oszillation an einem Punkt
Eine Funktion ist genau dann stetig am Punkt , wenn die Oszillation dieser Funktion an diesem Punkt gleich null ist, wenn also ist. Dabei ist die Oszillation definiert als , wobei die Menge aller Umgebungen um und ist.
Definition in der Nichtstandard-Analysis
Eine Funktion ist stetig an der Stelle , wenn für alle Infinitesimale gilt, dass auch die Differenz infinitesimal ist. Sprich: .

Allgemein gilt: Eine Funktion heißt stetig auf , wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vorzeichenfunktion ist nicht stetig an der Stelle 0.
Die Funktion mit für und ist im Nullpunkt nicht stetig.
Die Funktion mit für und ist im Nullpunkt stetig.
  • Die Sinusfunktion ist in stetig.
  • Die Kosinusfunktion ist in stetig.
  • ist (als Komposition der Exponential- und der Kosinusfunktion) in stetig.
  • Die Tangensfunktion ist stetig in ihrem gesamten Definitionsbereich . Dieser ergibt sich wegen zu , also zu .
    Bemerkung: Keine Unstetigkeitsstellen sind die Argumente sowie das Argument der Kehrwert-Funktion, da die Funktionen an diesen Stellen gar nicht definiert sind und sich Stetigkeit immer nur auf Punkte des Definitionsbereichs beziehen kann.
  • Die Kehrwert-Funktion ist stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich .
  • Die Vorzeichenfunktion

    ist an jeder Stelle stetig, aber an der Stelle 0 unstetig: Der linksseitige Grenzwert ist −1, der rechtsseitige Grenzwert +1 und somit existiert der Grenzwert nicht. Deshalb ist die Vorzeichenfunktion nicht auf ganz stetig.
  • Die Funktion

    ist an der Stelle 0 unstetig (sogenannte Oszillationsstelle), in allen anderen Punkten stetig.
  • Die Dirichlet-Funktion

    ist an jeder Stelle unstetig.
  • Die thomaesche Funktion auf dem Intervall

    ist an jeder rationalen Stelle unstetig und an jeder irrationalen Stelle stetig.
  • Jede Funktion ist in jedem isolierten Punkt ihres Definitionsbereichs stetig. Insbesondere sind Folgen aufgefasst als Funktionen in stetig.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sind und stetig auf einem gemeinsamen Definitionsbereich , so sind auch , , und stetig; allerdings muss der Definitionsbereich von für den Fall, dass eine oder mehrere Nullstellen hat, auf den Bereich eingeschränkt werden.
  • Die Komposition zweier stetiger Funktionen ist ebenfalls stetig.

Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph einer in linksseitig stetigen Funktion .

Eine auf einer Menge definierte Funktion ist in einem Punkt linksseitig stetig, wenn der linksseitige Grenzwert existiert und gleich ist. Ist auf dem ganzen Definitionsbereich linksseitig stetig, so sagt man auch, ist linksstetig. Analog definiert man rechtsseitige Stetigkeit über den rechtsseitigen Grenzwert mit analoger Notation .

Eine auf einer Teilmenge der reellen Zahlen definierte Funktion ist also genau dann stetig in , wenn in rechts- und linksseitige Grenzwerte existieren und gleich sind. Dies ermöglicht eine Klassifizierung von Unstetigkeitsstellen.

Stetige Ergänzbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Punkt , aber Häufungspunkt von , so kann es sein, dass der (beidseitige) Limes existiert. Die ergänzte Funktion mit und für ist dann an der Stelle stetig. Man sagt, die Funktion sei an der Stelle stetig ergänzbar, und verwendet häufig für die neue Funktion die ursprüngliche Bezeichnung .
Der Ergänzungswert lässt sich in vielen differenzierbaren Fällen durch die Regel von L’Hospital bestimmen.

Beispiele:

  1. Die Funktion ist zunächst an der Stelle nicht definiert. Die Ableitung des Nenners ist aber 1 an der Stelle Null, so dass nach der Regel von L’Hospital ist, und die Definition von sich auf ganz stetig (und sogar analytisch) ergänzen lässt.
  2. Die Definitionslücke der Funktion an der Stelle lässt sich nicht stetig beheben.

Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen metrischen Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion heißt stetig, wenn sich ihr Funktionswert genügend wenig ändert, solange man nur das Funktionsargument genügend wenig ändert. Mit den Begriffen des metrischen Raumes lässt sich diese Beschreibung in verschiedener Weise formalisieren. und sind jeweils metrische Räume mit den zugehörigen Metriken, eine Funktion mit Definitionsbereich . Folgende Definitionen sind äquivalent:

Epsilon-Delta-Kriterium
heißt (lokal) stetig in , wenn zu jedem ein existiert, so dass für alle mit gilt.
Folgenkriterium
ist stetig in Für jede Folge aus , die gegen konvergiert, konvergiert gegen .
Umgebungskriterium
ist genau dann stetig in , wenn es zu jeder Umgebung von eine Umgebung von gibt, deren Bild in enthalten ist, also für alle .


Darstellung der im Punkt (0,0) nicht stetigen nebenstehenden Funktion g.

In vielen Themen der Analysis kommen stetige Abbildungen zwischen den metrischen Räumen in Betracht. Die Funktion

ist zum Beispiel stetig. Hier sind bei fixiertem und bei fixiertem stetige Funktionen. Dies ist jedoch im Allgemeinen kein ausreichendes Kriterium für die Stetigkeit von . Ein Gegenbeispiel ist

Diese Funktion ist an der Stelle unstetig, obwohl und für jedes bzw. stetige Funktionen einer reellen Variable sind.


Weitere relevante Klassen stetiger Funktionen bilden die stetigen Funktionen . Die komplexe Exponentialfunktion ist Beispiel für eine solche Funktion.

Weitere Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Stetigkeit (Topologie)

Alle bisherigen Definitionen sind Spezialisierungen der entsprechenden Definition von Stetigkeit in der Topologie. Dort heißt eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wiederum offene Mengen sind. Eine Funktion heißt folgenstetig, wenn sie das Folgenkriterium erfüllt, wenn also

für jede konvergente Folge mit Elementen gilt.

Jede stetige Funktion ist folgenstetig. In Räumen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, insbesondere also in metrischen Räumen, gilt auch die Umkehrung, dass jede folgenstetige Funktion stetig ist.[6]

Ordnungstheoretischer Stetigkeitsbegriff[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ordnungstheoretisch lässt sich die Stetigkeit als Verträglichkeit einer Funktion mit dem Supremum vollständiger Halbordnungen fassen. Eine Funktion heißt stetig, wenn für alle gerichteten Teilmengen gilt.[7] Dieser Begriff spielt in der Bereichstheorie eine zentrale Rolle.[8] Ähnlich der Folgenstetigkeit oben werden auch hier Grenzwerte wieder auf Grenzwerte abgebildet.

In diesem Zusammenhang folgt aus der Stetigkeit einer Funktion deren Monotonie. Umgekehrt bildet jede monotone Funktion eine gerichtete Menge wieder auf eine solche ab, wodurch die Existenz des Supremums des Abbilds dann von vornherein gewiss ist und nicht mehr gezeigt werden muss. Viele Autoren nehmen die Monotonie als Voraussetzung in die Definition der Stetigkeit auf.

Andere Stetigkeitsbegriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verschärfungen des Begriffs der Stetigkeit sind z. B. gleichmäßige Stetigkeit, (lokale) Lipschitz-Stetigkeit, Hölder-Stetigkeit sowie absolute Stetigkeit. Die gewöhnliche Stetigkeit wird mitunter auch als punktweise Stetigkeit bezeichnet, um sie gegenüber der gleichmäßigen Stetigkeit abzugrenzen. Anwendungen der Lipschitz-Stetigkeit finden sich z. B. in Eindeutigkeitssätzen (z. B. Satz von Picard-Lindelöf) für Anfangswertprobleme und in der geometrischen Maßtheorie. Die absolute Stetigkeit findet Verwendung in der Stochastik und der Maßtheorie.

Eine Eigenschaft, die eine Menge von Funktionen besitzen kann, ist die gleichgradige Stetigkeit. Sie spielt eine Rolle im häufig verwendeten Satz von Arzelà-Ascoli.

Im Bereich geometrische Modellierung beschreibt geometrische Stetigkeit die Stetigkeit von geometrischen Objekten wie Tangenten oder Krümmungen.

Zusammenhang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gelten folgende Zusammenhänge im Fall reeller Funktionen:

Lipschitz-stetig lokal Lipschitz-stetig stetig

und

Lipschitz-stetig absolut stetig gleichmäßig stetig stetig.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einige Gegenbeispiele sollen demonstrieren, dass in aller Regel weder die Rückrichtungen gelten noch weitere Zusammenhänge bestehen:

  • ist lokal Lipschitz-stetig, aber weder Lipschitz-stetig noch gleichmäßig stetig.
  • ist absolut stetig, also gleichmäßig stetig, aber nicht lokal Lipschitz-stetig im Nullpunkt.
  • Die Cantorfunktion auf dem Intervall ist gleichmäßig stetig, aber nicht absolut stetig.

Wichtige Sätze über stetige Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verkettung stetiger Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Verkettung (auch Komposition, Hintereinanderausführung oder Hintereinanderschaltung genannt) stetiger Funktionen ist auch wieder stetig.

Summen stetiger Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Endliche Summen stetiger Funktionen sind stetig.

Eine Reihe kann jedoch als Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen selbst dann unstetig sein, wenn sie in jedem einzelnen Punkt gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert. Das älteste Beispiel hierfür ist die 1826 von Niels Henrik Abel angegebene Reihe

die unter anderem an der Stelle unstetig ist.[9] Liegen allerdings stärkere Voraussetzungen wie etwa die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Reihe vor, so ist auch die Grenzfunktion zwangsläufig stetig.

Stetigkeit der Umkehrfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind ein Intervall in und eine stetige, streng monoton wachsende oder streng monoton fallende Funktion, dann ist das Bild von ein Intervall , ist bijektiv, und die Umkehrfunktion ist stetig. Somit ist ein Homöomorphismus von nach .

Dies gilt wie angegeben nur für Funktionen, die im gesamten Intervall stetig sind. Ist eine umkehrbare und an der Stelle stetige Funktion, so ist die Umkehrfunktion an der Stelle im Allgemeinen nicht stetig. Als Gegenbeispiel sei definiert durch:

Dann ist bijektiv und an der Stelle stetig, aber ist in unstetig.

Allgemein gilt folgender Satz: Sind und topologische Räume und dabei kompakt und hausdorffsch und ist eine stetige Bijektion, so ist auch die Umkehrfunktion stetig und damit sogar ein Homöomorphismus.[10]

Zwischenwertsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine auf dem Intervall (mit ) stetige Funktion jeden Wert zwischen und mindestens einmal annimmt.

Formal:

Ist eine stetige Funktion mit und , dann existiert für alle ein , so dass .
Analog für und .

Eine äquivalente Formulierung ist: Das Bild einer stetigen Funktion auf einem Intervall ist wieder ein Intervall. (Das Bild eines offenen oder halboffenen Intervalles kann aber durchaus ein abgeschlossenes Intervall sein.)

Satz von Bolzano[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Spezialfall enthält der Zwischenwertsatz folgenden Satz von Bernard Bolzano: Nimmt die auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion an zwei Stellen und dieses Intervalls Funktionswerte mit unterschiedlichem Vorzeichen an, so gibt es zwischen und mindestens eine Stelle , an der die Funktion verschwindet, das heißt . Die Funktion hat also dort eine Nullstelle.

Satz vom Minimum und Maximum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine reellwertige Funktion, die auf einer kompakten Teilmenge von (die damit abgeschlossen und beschränkt ist) stetig ist, ist beschränkt und nimmt ihre obere und ihre untere Grenze an. Für reelle Funktionen lässt sich das wie folgt umformulieren: Ist stetig, so gibt es Stellen , so dass

für alle

gilt.

Dieser von Weierstraß bewiesene Satz, bisweilen auch Extremwertsatz genannt, liefert nur die Existenz dieser Extremwerte. Für das praktische Auffinden dieser Punkte sind Aussagen aus der Differentialrechnung nützlich.

Die Aussage gilt auch auf quasikompakten topologischen Räumen.[11]

Differenzierbarkeit stetiger Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph einer reellen Weierstraß-Funktion im Intervall . Sie ist stetig, aber nirgends differenzierbar.

Stetige Funktionen sind nicht notwendig differenzierbar. Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein könne (wie die Betragsfunktion). Bernard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, die Bolzanofunktion, was in der Fachwelt allerdings nicht bekannt wurde; Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige, als Weierstraß-Funktion bekannte Funktion, was diesmal unter Mathematikern Wellen schlug. Seine Funktion ist folgendermaßen definiert:

,

wobei eine ungerade natürliche Zahl ist und mit .

Räume stetiger Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Menge aller stetigen Funktionen von nach wird meist mit oder bezeichnet. Dabei steht das C für „continuous“, englisch für „stetig“. Ist der Bildraum aus dem Kontext ersichtlich oder , so schreibt man oft nur bzw. .

Um Stetigkeit sinnvoll definieren zu können, müssen und mindestens topologische Räume sein. Ist ein -Vektorraum, so wird durch die punktweise Verknüpfung

auch zu einem -Vektorraum.

Stetige Funktionen auf kompakten Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine kompakte Menge, so tragen die stetigen Funktionen mehr Struktur. Ist dann zusätzlich ein metrischer Raum, so sind die stetigen Funktionen stets eine Teilmenge der beschränkten Funktionen, es gilt also

.

Ist auf eine Norm definiert, so wird über

eine Norm auf definiert, die sogenannte Supremumsnorm. Diese Definition ist aufgrund der Beschränktheit der stetigen Funktionen sinnvoll.

Ist ein Banach-Raum, also ein vollständiger normierter Raum, so ist auch ein Banach-Raum. Die stetigen Funktionen sind dann ein abgeschlossener Unterraum der beschränkten Funktionen.

Reellwertige stetige Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Menge der reellwertigen stetigen Funktionen lassen sich noch einige zusätzliche Eigenschaften und wichtige Unterräume angeben.

So ist beispielsweise jede stetige Funktion auf einem Hausdorff-Raum bezüglich eines Radon-Maßes mit kompaktem Träger Lebesgue-integrierbar.

Wichtige Unterräume sind zum Beispiel:

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Treten in solchen Fällen die Sprungstellen - anschaulich gesprochen - nur in einer Richtung auf, so spricht man von eine halbstetigen reellen Funktion.
  2. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. Definition 34.6
  3. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. S. 212
  4. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. Satz 38.2
  5. Dirk Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-79599-5, S. 13.
  6. J. Cigler, H.-C. Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00121-6, S. 43, Aufgabe 61.
  7. Dana Scott: Continuous Lattices. In: SLNM 274, 1972, S. 97–136, Proposition 2.5. S.a. Scott, 1971 (PDF; 1,2 MB)
  8. Roberto M. Amadio and Pierre-Louis Curien: Domains and Lambda-Calculi, Cambridge University Press 1998. ISBN 0-521-62277-8. S. 2
  9. Wolfgang Walter: Analysis 1. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1985, 1990, 1992, 1997, 1999, 2001, 2004, ISBN 3-540-20388-5, S. 137.
  10. Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 62.
  11. Einen allgemeinen Beweis dazu findet man im Beweisarchiv.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Stetigkeit – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien