Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Die stetigen (Wahrscheinlichkeits)verteilungen, auch diffuse oder atomlose (Wahrscheinlichkeits)verteilungen bzw. Wahrscheinlichkeitsmaße genannt,[1] sind in der Stochastik eine große Klasse von häufig auftretenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass kein isolierter Punkt eine große Wahrscheinlichkeit zugeordnet bekommt. Insofern bilden sie das Gegenstück zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Die stetigen Verteilungen sind eng verbunden mit den absolutstetigen Verteilungen, aber nicht mit ihnen identisch. Sie sollten somit nicht verwechselt werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sein eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den reellen Zahlen , versehen mit der Borelschen σ-Algebra .

Dann heißt eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die Verteilungsfunktion von stetig ist.

Äquivalent dazu ist, dass atomlos ist. Das bedeutet, es existiert kein , so dass ist.

Weitere Unterteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Darstellungssatz lässt sich jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung noch weiter zerlegen in

Abgrenzung zu den absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie oben bereits erwähnt ist jede absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung immer auch eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Umkehr gilt im Allgemeinen nicht, wie das pathologische Beispiel der stetigsingulären Cantor-Verteilung zeigt.

Somit sollten absolutstetige und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht verwechselt werden. Schon alleine weil Aufgrund der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die Handhabung von absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen wesentlich leichter ist als die von stetigen

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 242.