Stochastisches Exponential

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Drei Realisierungen eines Standard-Wiener-Prozesses (oben) und dessen stochastischen Exponentials (unten)

Ein stochastisches Exponential ist ein stochastischer Prozess, der im mathematischen Teilgebiet der stochastischen Analysis ein Analogon zur Exponentialfunktion der gewöhnlichen Analysis darstellt. Nach der französischen Mathematikerin Catherine Doléans-Dade wird es auch als Doléans-Dade-Exponential oder kurz als Doléans-Exponential bezeichnet.

Die Exponentialfunktion lässt sich dadurch charakterisieren, dass sie mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Will man ein analoges Verhalten für die Exponentialfunktion eines stochastischen Prozesses erreichen, so muss wegen des Lemmas von Itō dessen quadratische Variation mitberücksichtigt werden, wenn diese wie beispielsweise beim Wiener-Prozess nicht verschwindet.

Stochastische Exponentiale spielen unter anderem eine wichtige Rolle bei der expliziten Lösung von stochastischen Differentialgleichungen und treten beim Satz von Girsanow auf, der das Verhalten stochastischer Prozesse bei einem Wechsel des Maßes beschreibt. Eine wichtige Fragestellung ist in diesem Zusammenhang, unter welchen Bedingungen ein stochastisches Exponential ein Martingal ist. Viele Modelle der Finanzmathematik beinhalten Prozesse, die stochastische Exponentiale sind, so zum Beispiel die geometrische brownsche Bewegung beim Black-Scholes-Modell.

Einführung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Exponentialfunktion ist eindeutig bestimmt durch die beiden Bedingungen und . Etwas allgemeiner folgt mit der Kettenregel, dass die eindeutig bestimmte Lösung der linearen gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung ist.

Diese Zusammenhänge gelten bei stochastischen Differentialgleichungen in dieser einfachen Form nicht mehr, da hierbei die Kettenregel durch das Lemma von Itō ersetzt werden muss, das die quadratische Variation der Prozesse mit berücksichtigt. Ist beispielsweise ein Standard-Wiener-Prozess, so ergibt sich für das Differential des Prozesses wegen mit dem Itō-Lemma

.

Der zusätzliche Term in dieser stochastischen Differentialgleichung lässt sich vermeiden, wenn anstelle der Exponentialfunktion der „korrigierte“ Ansatz verwendet wird: Dann ergibt sich , analog zum Fall gewöhnlicher Differentialgleichungen. Zudem ist nun der Prozess wie der Wiener-Prozess ein Martingal.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Semimartingal. Dann heißt das (eindeutig bestimmte) Semimartigal , das Lösung der stochastischen Differentialgleichung

mit Anfangsbedingung ist, das stochastische Exponential von und wird mit bezeichnet, d. h. .

Mit wird dabei der linksseitige Grenzwert des Prozesses an der Stelle bezeichnet. Falls stetig ist, so ist auch stetig; es gilt dann .

Dass der Prozess Lösung des genannten Anfangswertproblems ist, bedeutet explizit, dass er die Itō-Integralgleichung

erfüllt.

Explizite Darstellung und Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein stetiges Semimartigal, so hat das stochastische Exponential die explizite Darstellung

,

wobei die quadratische Variation von bezeichnet.

Im allgemeinen Fall müssen zusätzlich die Sprungstellen von berücksichtigt werden. Hier ergibt sich

mit dem Sprungprozess .

Anstelle der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion gilt für das stochastische Exponential von Semimartigalen und die Rechenregel

.

Ist stetig mit , so gilt

.

Martingaleigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sei ein stetiges Semimartingal und ohne Einschränkung gelte , also . Gemäß Definition ist das stochastische Exponential stets ein Semimartingal. Ist ein lokales Martingal, so zeigt die Darstellung als Itō-Integral, dass ebenfalls ein lokales Martingal ist. Allerdings muss, selbst wenn ein Martingal ist, das stochastische Exponential kein echtes Martingal sein; als nichtnegatives lokales Martingal ist es dann jedoch ein Supermartingal.

Für viele Anwendungen ist es wichtig, einfach nachzuprüfende Kriterien zu haben, die garantieren, dass das stochastische Exponential eines lokalen Martingals ein (echtes) Martingal ist. Die bekannteste hinreichende Bedingung ist die Novikov-Bedingung (nach dem russischen Mathematiker Alexander Novikov): Sei ein stetiges lokales Martingal mit . Gilt für alle , dann ist ein Martingal auf .

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare stochastische Differentialgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe des stochastischen Exponentials lassen sich die Lösungen linearer stochastischer Differentialgleichungen explizit angeben. Eine lineare stochastische Differentialgleichung hat die Gestalt

mit stetigen Funktionen oder stetigen adaptierten stochastischen Prozessen . Die zugehörige homogene Gleichung

besitzt die Lösung mit und ohne Einschränkung . Die allgemeine Lösung lautet somit explizit

mit

und

.

Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung lässt sich hieraus durch Variation der Konstanten finden, also durch den Ansatz .

Satz von Girsanow[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Satz von Girsanow

Es seien ein Wiener-Prozess auf dem Intervall bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes und ein Prozess mit . Falls das stochastische Exponential ein Martingal ist, dann gilt und kann als Radon-Nikodým-Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes bezüglich aufgefasst werden:

.

Bezüglich des so definierten Maßes ist der Drift-Prozess

ein Standard-Wiener-Prozess.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Nicholas H. Bingham, Rüdiger Kiesel: Risk-Neutral Valuation: Pricing and Hedging of Financial Derivatives. 2. Auflage, Springer, London/Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 1-85233-458-4, S. 197, 215-217.
  • Fima C. Klebaner: Introduction to Stochastic Calculus with Applications. 3. Auflage, Imperial College Press, London 2012, ISBN 978-1-84816-831-2.
  • Philip E. Protter: Stochastic Integrals and Differential Equations. 2. Auflage, Version 2.1, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-00313-4.