Strömungswiderstandskoeffizient

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Physikalische Kennzahl
Name Strömungswiderstandskoeffizient,
Widerstandsbeiwert
Formelzeichen c_\mathrm w
Dimension dimensionslos
Definition c_\mathrm w = \frac{F_\mathrm w}{q \cdot A}
F_\mathrm w Widerstandskraft
q Staudruck der Anströmung
A Referenzflächeninhalt
Anwendungsbereich Luftwiderstand von Fahrzeugen

Der Strömungswiderstandskoeffizient, Widerstandsbeiwert oder cw-Wert (nach dem üblichen Formelzeichen c_{\mathrm w}) ist ein dimensionsloses Maß (Koeffizient) für den Strömungswiderstand eines von einem Fluid umströmten Körpers. Er entspricht dem Druckverlustbeiwert eines durchströmten Körpers (z. B. eines Ventils).

Umgangssprachlich ausgedrückt ist der c_\mathrm w-Wert ein Maß für die „Windschlüpfigkeit“ eines Körpers. Es lässt sich aus dem Strömungswiderstandskoeffizienten bei zusätzlicher Kenntnis von Geschwindigkeit, Stirnfläche, Flügelfläche etc. und Dichte des Fluids (z. B. der Luft) die Kraft des Strömungswiderstands berechnen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Strömungswiderstandskoeffizient ist durch:

c_\mathrm w \,=\, \frac{F_\mathrm w}{q \, A} \,=\, \frac{2  F_\mathrm w}{\rho\, v^{\,2} A}

definiert. Hierbei wird die Widerstandskraft F_\mathrm w auf den Staudruck q der Anströmung und eine Referenzfläche A normiert. Ferner bilden \rho die Dichte und v die Geschwindigkeit der ungestörten Anströmung. Die Referenzfläche ist definitionsabhängig. Bei Fahrzeugen ist die Widerstandsfläche[1][2] gleich der Stirnfläche. In der Flugzeugaerodynamik wird jedoch die Auftriebsfläche, also die Flügelfläche als Referenz herangezogen.

Andere Bezeichnungen für den Strömungswiderstandskoeffizient lauten (Luft-)Widerstandsbeiwert, -koeffizient oder Stirnwiderstand. Das Formelzeichen c_\mathrm w (mit w für Widerstand) ist nur im deutschen Sprachraum üblich; im Englischen wird der Drag-Coefficient als c_\mathrm d oder c_\mathrm x notiert.

Abhängigkeit des Strömungswiderstandskoeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Strömungswiderstandskoeffizient einer Kugel in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl cw=f(Re). Die charakteristische Länge ist in diesem Fall der Kugeldurchmesser d; die Bezugsfläche A ist eine Kreisfläche mit dem Durchmesser d.

Allgemein gilt, dass bei inkompressibler Strömung[A 1] der Strömungswiderstandskoeffizient cW von der Reynolds-Zahl \mathit{Re} abhängt:

c_\mathrm w = f(\mathit{Re}) \!\, mit \mathit{Re} = \frac{v L \rho}{\eta}

Diese Aussage ergibt sich, wenn man davon ausgeht, dass die Strömungswiderstandskraft F_\mathrm w eines Körpers in einer bestimmten Lage abhängig von der Anströmgeschwindigkeit v, der Dichte \rho und der Viskosität (Zähigkeit) \eta des Fluids sowie einer charakteristischen Länge L des Körpers ist. Die charakteristische Länge L ist eine bestimmte geometrische Abmessung, deren Quadrat L^2 in einem festen Verhältnis zur Bezugsfläche A steht.

F_\mathrm w = f(v,\,\rho,\,\eta,\,L)

Mittels einer Dimensionsanalyse nach dem Buckinghamschen Π-Theorem lässt sich ableiten, dass die zwei Ähnlichkeitskennzahlen Strömungswiderstandskoeffizient c_\mathrm w und Reynoldszahl \mathit{Re} ausreichen, um den Strömungswiderstand eines bestimmten Körpers zu beschreiben,[3] was eine unkompliziertere allgemeingültige Darstellung des Widerstandes einer bestimmten Körperform ermöglicht.

Stumpfe, kantige Körper haben über einen großen Bereich der Reynolds-Zahl einen weitgehend konstanten Widerstandsbeiwert. Das ist z. B. beim Luftwiderstand von Kraftfahrzeugen bei den relevanten Geschwindigkeiten der Fall.

cw in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit

Bei kompressiblen Strömungen, also bei Strömungen mit veränderlicher Dichte, besteht auch eine Abhängigkeit des Strömungswiderstandskoeffizienten von der Mach-Zahl. Im transsonischen Bereich und im Überschallbereich ändert sich der Strömungswiderstandskoeffizient stark. In der Nähe der Schallgeschwindigkeit steigt er auf ein Mehrfaches an und sinkt bei sehr hohen Machzahlen auf etwa den doppelten Unterschall-cw-Wert. Die Grafik veranschaulicht den Zusammenhang schematisch. Oberhalb der kritischen Machzahl überschreiten Teilumströmungen die Schallgeschwindigkeit. Oberhalb der Widerstandsdivergenzmachzahl[4] steigt der Strömungswiderstand stark an. Das Verhalten im Überschallbereich wird bestimmt durch die Geometrie des Körpers. In der Zeichnung steht die grüne Kurve für einen stromlinienförmigen Körper.

Der Widerstandsbeiwert bestimmt für Satelliten ihre Lebensdauer im Orbit. Bei einer Flughöhe oberhalb von ca. 150 km ist die Atmosphäre so dünn, dass die Strömung nicht mehr als laminare Kontinuumsströmung, sondern als freie molekulare Strömung approximiert wird. In diesem Bereich liegt der cw-Wert typischerweise zwischen 2 und 4, oft wird mit einem Wert von 2,2 gerechnet. Mit steigender Höhe verringert sich der Einfluss der Atmosphäre und ist oberhalb von ca. 1000 km vernachlässigbar.

Ermittlung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Strömungswiderstandskoeffizient wird üblicherweise im Windkanal ermittelt. Der Körper steht dabei auf einer Platte, die mit Kraftsensoren ausgestattet ist. Die Kraft in Richtung der Anströmung wird gemessen. Aus dieser Widerstandskraft F_\mathrm w und den bekannten Größen wie Luftdichte und Stirnfläche wird der Strömungswiderstandskoeffizient bei gegebener Anströmgeschwindigkeit errechnet. Neben der experimentellen Ermittlung kann der Widerstand je nach Komplexität der Modellform und verfügbarer Rechnerkapazität auch numerisch über die Integration der Verteilung von Reibungs- und Druckbeiwert über die Modelloberfläche berechnet werden.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus dem Strömungswiderstandskoeffizienten wird die Widerstandskraft  F_\mathrm w wie folgt berechnet:

F_\mathrm w = \frac{\rho\,c_\mathrm w\, A\,v^{\,2}}{2}

Der Strömungswiderstand hängt somit ab von

  • der Dichte des strömenden Fluids \rho (vergleiche Luftdichte!),
  • der Referenzfläche A,
  • der Strömungsgeschwindigkeit v und
  • dem Strömungswiderstandskoeffizienten c_\mathrm w.

Der Luftwiderstand ist somit jeweils proportional zum Strömungswiderstandskoeffizient, zur projizierten Frontfläche und zum Quadrat der Geschwindigkeit. Die erforderliche Antriebsleistung ist wegen P = \vec F \cdot \vec v sogar proportional zur dritten Potenz der Geschwindigkeit. Daher hat die Wahl der Geschwindigkeit bei Kraftfahrzeugen neben den anderen beiden Faktoren besondere Auswirkung auf den Treibstoffverbrauch.

Der Luftwiderstand ist ausschlaggebend für die Abweichung der tatsächlichen ballistischen Kurve von der idealisierten Wurfparabel.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

cw-Werte von typischen Körperformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wert Form
2,3 Halbrohr lang, konkave Seite
2,0 lange Rechteckplatte
1,33 Halbkugelschale, konkave Seite, Fallschirm
1,2 Halbrohr lang, konvexe Seite
1,2 langer Zylinder, Draht (Re < 1,9 · 105)
1,11…1,17 runde Scheibe, quadratische Platte
0,78 Mensch, stehend[5]
0,6 Gleitschirm (Bezugsfläche Strömungsquerschnittsfläche!)
0,53…0,69 Fahrrad (Mountainbike, gestreckt/aufrecht)[6]
0,45 Kugel (Re < 1,7 · 105)
0,4 Fahrrad (Rennrad)[7]
0,35 langer Zylinder, Draht (Re > 6,7 · 105)
0,34 Halbkugelschale, konvexe Seite
0,09…0,18 Kugel (Re > 4,1 · 105)
0,08 Flugzeug (Bezugsfläche Tragfläche)
0,03 Pinguin
0,02 Tropfen stromlinienförmig

\mathrm{Re} bezeichnet hierbei die Reynolds-Zahl

Luftwiderstandsbeiwerte von Kraftfahrzeugen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Veröffentlichte cw-Werte sind äußerst kritisch zu hinterfragen, oftmals noch heute an kleinen Modellen unter Missachtung der Modellprinzipien ermittelt, früher beispielsweise durch die Deutsche Versuchsanstalt für Luftfahrt mit cw=0,244 für den Tatra 87, der viel später als Original mit cw=0,36 gemessen wurde.[8]

cW-Wert Experimentalfahrzeuge Serienfahrzeuge
0,9 Ford Model T
0,78 Mercedes G-Klasse (W 463, langer Radstand)
0,7 Motorrad, unverkleidet
0,66 Mercedes-Benz Typ Stuttgart Limousine (1928)[8]
0,51 moderner Lkw (Sattelzug, 2012)
0,50 Citroën 2CV
0,49 VW Käfer
0,44 VW-Bus
0,41 Opel GT (1968),[8] Mercedes-Benz W 116 (1972), VW Golf I (1974),[8] VW Scirocco (1974),[8] Smart Roadster (nicht Coupé)
0,40 VW Öko-Polo (Kleinserie von 52 Stück, 1,7 l / 100 km, 1987)[9][10][11] Citroën CX (1974)[8]
0,39 VW Karmann-Ghia (1967/68), Porsche Carrera GT (2003)
0,38 Citroën DS (1956),[8] NSU Ro 80 (1967),[8] VW New Beetle (1998), Lada Kalina 1118 (Basisausstattung 2008), Smart Roadster (Coupé)
0,37 Citroën GS (1970),[8] Renault Twingo I (1995), Smart Fortwo (1998), Dodge Journey (2008)
0,36 Tatra 87 (1937), Mercedes-Benz Baureihe 126 (1979)
0,35 Lada Kalina 1118 (gehobene Ausstattung 2008)
0,34 Ford Sierra, VW Golf II, VW Scirocco (2008), Citroën Saxo, GAZ Pobeda (1946)
0,33 Tatra 77A (1935), Citroën BX (1982),[8] Peugeot 206, Mercedes-Benz 190 E (1983), Smart Forfour, Seat Ibiza 6K (1993), Kia Soul ev (2014)
0,30 Saab 92 (1947), Citroën SM (1970), Audi 100 C3 (1982),[8]
0,29 Lotus Europa (1966), Audi 80 B3 (1986), Opel Vectra A (1988), Lexus LS 400 (1989), BMW 1er (2004), Mercedes-Benz GLA (X156, 2014)
0,28 Rumpler-Tropfenwagen (1921),[8] Opel Omega A (1986)[8], Audi A2 (1999)[12], Porsche 911 (2004)[8], VW e-Golf (2014)
0,26 Calibra 2,0 8V (1989), Mercedes A-Klasse (2013)
0,25 Toyota Prius (2009),[13] Mercedes E-Klasse (2009)
0,246 Twingo Smile
0,245 Jaray/Ley T6[14]
0,24 Toyota Prius (2015), Tesla Model S[15]
0,23 Mercedes-Benz E-Klasse (2016)[16]
0,22 Mercedes-Benz CLA 180 BlueEFFICIENCY
0,2 Mitsubishi HSR-II (Studie, 1989), Loremo
0,195 GM EV1 (Elektroauto mit 225 km Reichweite, 1996)
0,189 VW XL1 (Kleinserie, 1,94 l / 100 km, 2014)
0,18 Zerotracer (Gewinner Zero Emission Race 2010)
0,168 Daihatsu UFE-III (Studie, 2006)
0,159 VW 1L (1-Liter-Auto, 2002)
0,15 Schlörwagen (7-sitzige Limousine, 20 % bis 40 % weniger Verbrauch im Vgl. zum Serienfzg., 1938)
0,11 Fortis Saxonia (Sax2 – Ecocar der TU Chemnitz, 2007)
0,075 PAC-Car II (Weltrekordfahrzeug der ETH Zürich, 2005)
0,07 TERA Fennek (Fahrzeug des TERA TU Graz, 2013)

Der cw-Wert quantifiziert die aerodynamische Güte eines Körpers. Durch Multiplikation mit der Bezugsfläche A (bei Fahrzeugen üblicherweise die Stirnfläche) erhält man die Widerstandsfläche eines Fahrzeugs: Widerstandsfläche f_\mathrm w = c_\mathrm w A. Der Luftwiderstand, der den Verbrauch eines Kraftfahrzeugs bei hohen Fahrgeschwindigkeiten bestimmt, ist proportional zur Widerstandsfläche. Von Herstellern wird die Stirnfläche selten angegeben.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sighard F. Hoerner: Fluid-Dynamic Drag. Eigenverlag, 1965.
  • Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch der Physik. 4. Auflage. Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
  • Hans-Hermann Braess, Ulrich Seiffert: Vieweg-Handbuch Kraftfahrzeugtechnik. 2. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2001, ISBN 3-528-13114-4.
  • Karl-Heinz Dietsche, Thomas Jäger, Robert Bosch GmbH: Kraftfahrtechnisches Taschenbuch. 25. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-23876-3.
  • Wolfgang Demtröder: Mechanik und Wärme. 4. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-26034-X (Experimentalphysik. Band 1).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ludwig Prandtl: Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Göttingen, Teil 1. Universitätsverlag Göttingen 2009 (Ersterscheinung 1921) ISBN 978-3-941875-35-7 eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
  2. Wolfgang-Heinrich Hucho: Aerodynamik des Automobils. Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-62160-1, S. 111–113.
  3. Jürgen Zierep: Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre. Karlsruhe 1991, ISBN 3-7650-2041-9.
  4. Drag divergence Mach number auf en.wikipedia.org.
  5. www.dieter-heidorn.de: Fall mit Luftwiderstand
  6. http://www.ltam.lu/physique/projekte/reichling/zusammenfassung.pdf
  7. http://www.ltam.lu/physique/projekte/reichling/zusammenfassung.pdf
  8. a b c d e f g h i j k l m n Wolf-Heinrich Hucho: Aerodynamik des Automobils. Hrsg.: Thomas Schütz. 6. Aufl. Springer Vieweg, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-2316-8, Einführung, S. 11–53 (Auszug online unter Google Books).
  9. Volkswagen: Das Auto. Magazin: Polo holt den Pott
  10. Studie VW Öko-Polo (1989)
  11. VAU-MAX: Öko-Polo mit 2-Zylinder Dieselmotor und G40-Aufladung Sensation im Jahr 1990 – 1,7 Liter Diesel auf 100 km
  12. Technische Daten Audi A2. Abgerufen am 8. März 2016 (PDF).
  13. Auto Motor und Sport So fährt die Neuauflage des Hybrid-Pioniers, erschienen am 20. April 2009, abgerufen am 4. November 2014
  14. Jerry Sloniger: The slippery shapes of Paul Jaray in Automobile Quarterly 3/1975.
  15. the-slipperiest-car-on-the-road. teslamotors.com, abgerufen am 30. März 2016 (deutsch).
  16. Herstellerinformation. mercedes-benz.de, abgerufen am 16. April 2016 (deutsch).

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Auch kompressible Fluide wie Luft können als inkompressibel betrachtet werden, wenn die Dichte im Strömungsfeld weitestgehend konstant ist. Das ist bis zu einer Mach-Zahl von 0,3 im Allgemeinen der Fall.