Streng nicht-palindromische Zahl

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Eine streng nicht-palindromische Zahl ist eine natürliche Zahl , die in keinem Stellenwertsystem ein Zahlenpalindrom ist, dessen Basis im Bereich liegt.

Die obere Grenze für die Größe der Basis ist notwendig, um die Folge nichttrivial zu halten, da

  • jede Zahl (größer 1) zu jeder Basis als eine einstellige (also auch palindromische) Zahl geschrieben wird;
  • jede Zahl (größer 2) zur Basis als , also nicht-palindromisch geschrieben wird;
  • jede Zahl (größer 3) zur Basis als (palindromisch) geschrieben wird.

Für ist die Menge an Basen leer, sodass diese Zahlen trivialerweise ebenfalls streng nicht-palindromisch sind.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispielsweise ist die (Dezimal-)Zahl 6 geschrieben

  • zur Basis zwei: 110,
  • zur Basis drei: 20 und
  • zur Basis vier: 12

Da keine dieser Schreibweisen palindromisch ist, ist 6 streng nicht-palindromisch.

Die Folge der streng nicht-palindromischen Zahlen beginnt mit

0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, … [1]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alle streng nicht-palindromischen Zahlen größer 6 sind Primzahlen. Zu jeder zusammengesetzten Zahl kann also eine Basis gefunden werden, zu der palindromisch ist.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wenn gerade ist, dann wird zur Basis als 22 (palindromisch) geschrieben.
  2. Anderenfalls ist ungerade und lässt sich als schreiben, wobei der kleinste Primfaktor von ist. Verständlicherweise ist dann .
  • Ist dann , so ist , was zur Basis 2 als 1001 (palindromisch) geschrieben wird.
  • Ist dann , so wird zur Basis als 121 (palindromisch) geschrieben.
Anderenfalls ist . Der Fall kann nicht eintreten, da sowohl als auch ungerade sind.
In diesem Fall wird als die zweistellige Zahl (palindromisch) zur Basis geschrieben.

In jedem dieser Fälle liegt die Basis im Bereich .

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Folge A016038 in OEIS