Summe aller natürlichen Zahlen

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Die Summe aller natürlichen Zahlen ist eine Reihe, deren Summanden aus den aufsteigenden natürlichen Zahlen besteht. Da jeder Summand die Partialsumme vergrößert und die unendliche Summe keine obere Schranke besitzt, hat sie keinen Grenzwert. Sie nähert sich also keiner bestimmten reellen Zahl an, sondern geht gegen positiv unendlich, also gilt

Endliche Summe aller natürlichen Zahlen

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Links hat das Dreieck Kugeln. Fügt man weitere hinzu, erhält man das Dreieck rechts.

Für jedes ist die Partialsumme, also die endliche Summe von bis , eine arithmetische Reihe und man kann sie als figurierte Zahl betrachten. Ordnet man die einzelnen Summanden untereinander an, erkennt man recht gut, dass sich ein Dreieck bildet, weshalb die endlichen Summen von bis auch als Dreieckszahlen bezeichnet werden. Nach der Gaußschen Summenformel ergibt sich die Rechenformel

Da die Folge der Partialsummen monoton wächst und nicht nach oben beschränkt ist, divergiert die Reihe nach dem Monotoniekriterium. In dem Sinne hat die Summe aller natürlichen Zahlen keinen Grenzwert.

Obwohl die Reihe nach dem normalen Grenzwertbegriff nicht konvergiert und auch gängige alternative Summationsverfahren wie die Cesàro-Summation oder Abel-Summation versagen, wurden und werden verschiedene Werte der Summe aller natürlichen Zahlen zugewiesen. Als einer der häufigsten Werte wird genannt. Neben der intrinsischen Motivation, der Reihe eine sinnvolle Kennzahl zuweisen zu wollen, finden solche Summationen Anwendung in der Physik[1], entstehen durch Rechenfehler oder werden als wissenschaftlicher Witz kommuniziert.

Heuristische Summation nach Ramanujan

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Die letzten Schritte der Herleitung aus seinem Notizbuch

Vom indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan sind mehrere mögliche Berechnungsmethoden überliefert. Einer der bekanntesten Rechenversuche findet sich in seinem ersten Notizbuch.[2]

Die Summe kürzte er mit ab und rechnete wie folgt:

Dann nutzte er die Potenzreihendarstellung

aus. Der rechte Term hierbei ist, wenn man setzt, unser , also erhalten wir , d. h.

Nachweislich war das ein Resultat, welches er, damals noch als Angestellter in Madras, an G. H. Hardy sandte.[3]

Ramanujans Herleitung ist vielfach rezipiert und (in Variationen) in populärwissenschaftlichen Artikeln und Werken dargestellt worden.[4] Diese Rechnung funktioniert aber nicht, da sie von Anfang an die Existenz und Wohldefiniertheit des voraussetzt (ex falso quodlibet). Selbst wenn man aber von einem wohldefinierten ausgeht, ist die Herleitung an zwei Stellen inkorrekt: Einerseits kann man diese Reihendarstellung für nicht einfach so herleiten, da die Rechengesetze im Unendlichen im Allgemeinen nicht mehr gelten. Andererseits kann man in die obige Potenzreihe nicht setzen, da sich diese Zahl außerhalb des Konvergenzradius für die Potenzreihe befindet.

Die Riemannsche Zeta-Funktion lässt sich für komplexe Zahlen , deren Realteil größer als ist, durch die spezielle Dirichlet-Reihe definieren:

Für Zahlen mit einem Realteil kleiner als ergibt die Darstellung nicht mehr unbedingt Sinn. Zum Beispiel wäre

was nach der Ausführung darüber bestimmt divergiert. Mittels analytischer Fortsetzung lässt sich die Funktion holomorph auf erweitern. So kann man dem Term doch einen sinnvollen Wert zuweisen. Denn für nichtpositive ganze Werte gilt folgende Beziehung zu den Bernoulli-Zahlen

Daher folgt

Der Reihe lässt sich in dem Sinne der Wert zuweisen. Dieses Vorgehen nennt man Zetafunktions-Regularisierung.

Rammanujan-Summation

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Von Ramanujan stammt noch eine zweite Berechnungsmethode, die er in seinem zweiten Brief an Hardy vorstellte:

„I was expecting a reply from you similar to the one which a Mathematics Professor at London wrote asking me to study carefully Bromwich's Infinite Series and not fall into the pitfalls of divergent series. … I told him that the sum of an infinite number of terms of the series: under my theory. If I tell you this you will at once point out to me the lunatic asylum as my goal. I dilate on this simply to convince you that you will not be able to follow my methods of proof if I indicate the lines on which I proceed in a single letter.“

„Ich hatte eine Antwort von Ihnen erwartet, ähnlich derjenigen, die ein Mathematikprofessor in London schrieb und mich aufforderte, Bromwichs Infinite Series sorgfältig zu studieren und nicht in die Fallstricke der divergenten Reihen zu tappen. ... Ich erzählte ihm, dass die Summe einer unendlichen Anzahl von Termen der Reihe: nach meiner Theorie gleich ist. Wenn ich Ihnen das erzähle, werden Sie mir sofort das Irrenhaus als mein Ziel vor Augen führen. Ich führe dies nur aus, um Sie davon zu überzeugen, dass Sie meine Beweisführung nicht nachvollziehen können, wenn ich meine Vorgehensweise in einem einzigen Brief aufzeige.“

Zweiter Brief von Ramanujan an Hardy[5]

Die Grundidee für die Ramanujan-Summation ist es, die Euler-Maclaurin-Formel für die Summenapproximation anzuwenden. Für eine Regelfunktion betrachtet man die Reihe und setzt als Schätzung den Wert

Da in diesem Falle gilt, vereinfacht sich der Term zu

2014 lud der Kanal Numberphile, der sich mit Zahlen beschäftigt, ein Video hoch, welches die Herleitung präsentierte. Stand 2024 erreichte dieses Video über neun Millionen Aufrufe.[6] In der Folge wurden mehrere Folgevideos gedreht und das Thema erreichte breite mediale Resonanz.[4]

  1. Zum Beispiel fand die daraus entstandene Zetafunktions-Regularisierung Anwendung in: Stephen William Hawking: Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime. In: Communications in Mathematical Physics. Band 55, Nr. 2, 1977, S. 139–141.
  2. Bruce C. Berndt (Hrsg.): Ralllanujan's Notebook. Part I, Springer-Verlag, 1985, S. 135–136.
  3. Bruce C. Berndt (Hrsg.): Ralllanujan's Notebook. Part I, Springer-Verlag, 1985, S. 136.
  4. a b zum Beispiel in: Holger Dambeck: Mathematik bizarr: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus 1/12. In: spiegel.de. 21. Januar 2014, abgerufen am 16. Februar 2024.
  5. Srinivasa Ramanujan: Ramanujan: Letters and Commentary, American Mathematical Society, 1995, S. 53.
  6. Numberphile: ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12. In: YouTube. 9. Januar 2014, abgerufen am 16. Februar 2024 (englisch).