Superperfekte Zahl

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Eine natürliche Zahl n wird als superperfekte Zahl bezeichnet, wenn die Summe der Teiler der Summe ihrer Teiler doppelt so groß ist wie die ursprüngliche Zahl n. Verwendet man \sigma\, als Notation für die Teilersummenfunktion, so kann man die Definition wie folgt aufschreiben:

n ist eine superperfekte Zahl genau dann, wenn \sigma(\sigma(n))=2n.\,

Die bekannteren vollkommenen Zahlen erfüllen dagegen die Gleichung \sigma(n)=2n.\, Die Frage, ob eine Zahl superperfekt ist, stellt sich bei der Untersuchung der iterierten Teilersummenfunktion (siehe auch Inhaltskette; hier wird jedoch die Abbildung n \mapsto \sigma(n) - n iteriert).

Beispiele und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Summe dieser Zahlen ist 12. Die Teiler von 12 wiederum sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12, deren Summe 28 ist. Wegen 28 ≠ 2·6 ist 6 keine superperfekte Zahl. Weitere Rechenbeispiele sind:

Zahl n \sigma(n) \sigma(\sigma(n)) 2n Superperfekt?
2 \sigma(2) = 1 + 2 = 3 \sigma(3) = 1 + 3 = 4 4 ✔ Ja
3 \sigma(3) = 1 + 3 = 4 \sigma(4) = 1 + 2 + 4 = 7 6 ✘ Nein
6 \sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 \sigma(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 12 ✘ Nein
8 \sigma(8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 \sigma(15) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24 16 ✘ Nein
10 \sigma(10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18 \sigma(18) = 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39 20 ✘ Nein
16 \sigma(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 \sigma(31) = 1 + 31 = 32 32 ✔ Ja

Die ersten superperfekten Zahlen sind 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, … (Folge A019279 in OEIS).

Jede gerade superperfekte Zahl hat die Form 2^{p-1}, wobei 2^p-1 eine Mersenne-Primzahl ist (Beispiel: 16 ist superperfekt und 31 eine Mersenne-Primzahl). Umgekehrt liefert jede Mersenne-Primzahl eine gerade superperfekte Zahl. Ob es ungerade superperfekte Zahlen gibt, ist nicht bekannt.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Superperfekte Zahlen sind – genau wie die vollkommenen Zahlen – Beispiele für Zahlen der Oberklasse von (m, k)-superperfekten Zahlen, welche wie folgt definiert sind:

n ist eine (m, k)-superperfekte Zahl genau dann, wenn \sigma^m(n)=k\cdot n gilt.

Vollkommene Zahlen sind somit (1,2)-superperfekt und superperfekte Zahlen (2,2)-superperfekt. Die Mathematiker G. L. Cohen und H. J. J. te Riele halten es für möglich, dass jede Zahl (m, k)-superperfekt ist für geeignete m und k.

Es folgen ein paar Beispiele für verallgemeinerte (m,k)-superperfekte Zahlen:

Die Zahl 21 ist eine (2,3)-superperfekte Zahl, weil gilt:

\sigma(21) = 1 + 3 + 7 + 21 = 32
\sigma^m(21)=\sigma^2(21)=\sigma(\sigma(21))=\sigma(32) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63
Es ist aber auch k \cdot 21 = 3 \cdot 21 = 63.

Die Zahl 14 ist eine (3,12)-superperfekte Zahl, weil gilt:

\sigma(14) = 1 + 2 + 7 + 14 = 24
\sigma^2(14)=\sigma(\sigma(14))=\sigma(24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 60
\sigma^m(14)=\sigma^3(14)=\sigma(\sigma(\sigma(14))) =\sigma(60) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 10 + 12 + 15 + 20 + 30 + 60 = 168
Es ist aber auch k \cdot 14 = 12 \cdot 14 = 168.

Die Zahl 18 ist eine (4,20)-superperfekte Zahl, weil gilt:

\sigma(18) = 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39
\sigma^2(18)=\sigma(\sigma(18))=\sigma(39) = 1 + 3 + 13 + 39 = 56
\sigma^3(18)=\sigma(\sigma(\sigma(18)))=\sigma(56) = 1 + 2 + 4 + 7 + 8 + 14 + 28 + 56 = 120
\sigma^m(18)=\sigma^4(18)=\sigma(\sigma(\sigma(\sigma(18)))) =\sigma(120) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360
Es ist aber auch k \cdot 18 = 20 \cdot 18 = 360.

Es folgen weitere Beispiele von (m, k)-superperfekten Zahlen:

m k (m,k)-superperfekte Zahlen OEIS-Folge
2 2 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, 1152921504606846976, 309485009821345068724781056, 81129638414606681695789005144064, 85070591730234615865843651857942052864 Folge A019279 in OEIS
2 3 8, 21, 512 Folge A019281 in OEIS
2 4 15, 1023, 29127, 355744082763 Folge A019282 in OEIS
2 6 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024, 22548578304 Folge A019283 in OEIS
2 7 24, 1536, 47360, 343976 Folge A019284 in OEIS
2 8 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072, 7635468288, 16106127360 Folge A019285 in OEIS
2 9 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936, 5099962368 Folge A019286 in OEIS
2 10 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296, 14763499520, 38385098752 Folge A019287 in OEIS
2 11 4404480, 57669920, 238608384 Folge A019288 in OEIS
2 12 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120, 16785793024, 22648550400, 36051025920, 51001180160, 144204103680 Folge A019289 in OEIS
3 k 1, 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, 6882, 7616, 9114, 14592, 18288, 22848, 32704, 40880, 52416, 53760, 54864, 56448, 60960, 65472, 94860, 120960, 122640, 169164, 185535, 186368, 194432 Folge A019292 in OEIS
4 k 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, 336, 455, 512, 896, 960, 992, 1023, 1280, 1536, 1848, 2040, 2688, 4092, 5920, 7808, 7936, 10416, 16352, 20384, 21824, 23424, 24564, 29127, 33792, 41440 Folge A019293 in OEIS

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • D. Suryanarayana: Super perfect numbers, Elemente der Mathematik 24, 16–17, 1969 (online)
  • Dieter Bode: Über eine Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen, Dissertation, Braunschweig, 1971
  • Richard K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory, Springer, 3. Auflage, 2004, Kapitel B2 und B9 (Google books)
  • G. L. Cohen, H. J. J. te Riele: Iterating the sum-of-divisors function, Experimental Mathematics 5, 93-100, 1993 (online)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]