Sylow-Sätze

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Die Sylow-Sätze (nach Ludwig Sylow) sind drei mathematische Sätze aus der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Sie erlauben es, Aussagen über Untergruppen von endlichen Gruppen zu treffen und auch einige Gruppen endlicher Ordnung zu klassifizieren.

Im Gegensatz zu endlichen zyklischen Gruppen kann man bei beliebigen endlichen Gruppen im Allgemeinen nichts über die Existenz und Anzahl von Untergruppen aussagen. Man weiß lediglich aus dem Satz von Lagrange, dass eine Untergruppe einer Gruppe eine Ordnung hat, die Teiler der Ordnung von ist. Die Sylowsätze liefern hier zusätzliche Aussagen, erlauben allerdings auch keine vollständige Klassifikation endlicher Gruppen. Diese vollzieht sich über die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen.

Neben Sylow (1872) gaben unter anderem Eugen Netto und Alfredo Capelli Beweise.

Die Sätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei im Folgenden eine endliche Gruppe der Ordnung , wobei eine Primzahl, und eine zu teilerfremde natürliche Zahl seien. Eine maximale -Untergruppe von , also eine Untergruppe der Ordnung , wird -Sylowuntergruppe genannt.

  1. Für alle besitzt eine Untergruppe der Ordnung , also insbesondere eine -Sylowuntergruppe.
  2. Sei eine -Sylowuntergruppe. Dann enthält von jeder Untergruppe , die p-Gruppe ist, eine Konjugierte. Es gibt also ein mit .
  3. Die Anzahl der -Sylowuntergruppen ist ein Teiler des Index der -Sylowuntergruppe von und von der Form mit .

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Satz von Cauchy: Ist eine Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl geteilt wird, so gibt es in ein Element der Ordnung .
  • Je zwei -Sylowgruppen einer Gruppe sind konjugiert und damit isomorph.
  • Sei eine Gruppe und eine -Sylowuntergruppe. Dann ist genau dann Normalteiler von , wenn die einzige -Sylowuntergruppe von ist.
  • Sei eine endliche Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl geteilt wird. Ist abelsch, so gibt es nur eine -Sylowuntergruppe in .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Gruppe der Ordnung . Bezeichnet man mit die Anzahl der 3-Sylowuntergruppen von und mit die Anzahl der 5-Sylowuntergruppen von , so gilt:

  1. und , also muss gelten.
  2. und , also muss gelten.

Also sind die 3-Sylowuntergruppe und die 5-Sylowuntergruppe Normalteiler von G. Als p-Untergruppen zu verschiedenen Primzahlen ist ihr Durchschnitt , wobei das neutrale Element von bezeichnet. Daher ist ihr Komplexprodukt direkt, das heißt (s. Komplementäre Normalteiler und direktes Produkt). Da das direkte Produkt die Ordnung 15 hat, muss sein, und mit dem chinesischen Restsatz folgt .

Es gibt keine einfache Gruppe der Ordnung 162[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei .

Aus und folgt

Also ist die 3-Sylowgruppe ein Normalteiler von der Ordnung . Dieser Normalteiler kann somit weder die ganze Gruppe sein, noch kann er nur aus dem neutralen Element bestehen. ist also nicht einfach.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wikibooks: Beweis der Sylow-Sätze – Lern- und Lehrmaterialien