Symmetrische Algebra

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In der Mathematik dienen symmetrische Algebren zur Definition von Polynomen über beliebigen Vektorräumen. Sie spielen eine wichtige Rolle etwa in der Theorie der Lie-Gruppen und in der Theorie der charakteristischen Klassen.

Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Vektorraum über einem Körper . Weiter sei

das -fache Tensorprodukt von mit den Konventionen und . Die direkte Summe

ist die Tensoralgebra von .

Das zweiseitige, homogene Ideal sei erzeugt durch Differenzen von Elementartensoren mit "vertauschter Reihenfolge":

.

Die symmetrische Algebra ist dann definiert als der Quotientenraum

.

Die -te symmetrische Potenz von ist definiert als das Bild von in , sie wird mit bezeichnet. Man hat eine Zerlegung

.

Das Produkt in der symmetrischen Algebra wird traditionell als geschrieben.

Analog kann man die symmetrische Algebra von Moduln über kommutativen Ringen definieren.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ist isomorph zum Polynomring .

Allgemein kann man die Elemente von als Polynome in den Elementen einer fest gewählten -Basis von interpretieren.

Speziell für , den Vektorraum der -Matrizen über , kann man die Elemente von als Polynome in den Einträgen der Matrizen interpretieren:

.

Polynome über Vektorräumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Polynome vom Grad über einem -Vektorraum sind - per Definition - die Elemente aus , wobei den Dualraum bezeichnet. Diese Polynome sind lineare Abbildungen

welche unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe invariant sind. (Man beachte, dass ein solches Polynom durch seine Werte für alle bereits eindeutig festgelegt wird.)

Das Produkt

ist definiert durch

.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graßmann-Algebra

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]