Symmetrische Funktion

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Dieser Artikel behandelt symmetrische Funktionen mehrerer Variablen; zur Achsen- und Punktsymmetrie reeller Funktionen einer Variablen siehe gerade und ungerade Funktionen.

Eine symmetrische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion mehrerer Variablen, bei der die Variablen untereinander vertauscht werden können, ohne den Funktionswert zu verändern. Wichtige Spezialfälle symmetrischer Funktionen sind symmetrische Multilinearformen und symmetrische Polynome. In der Quantenmechanik sind Bosonen genau diejenigen Teilchen, deren Wellenfunktion symmetrisch bezüglich des Austauschs der Teilchenpositionen ist. Das Gegenstück zu den symmetrischen Funktionen sind antisymmetrische Funktionen.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind X und Y zwei Mengen, dann heißt eine multivariate Funktion f\colon X^n\to Y symmetrisch, wenn für alle Permutationen \sigma\in S_n der symmetrischen Gruppe S_n und alle Elemente x_1, \dotsc , x_n \in X

f(x_1, \dotsc , x_n)=f(x_{\sigma(1)}, \dotsc , x_{\sigma(n)})

gilt. In der Praxis werden als Mengen X und Y meist Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen verwendet.

Diese Definition kann folgendermaßen auf Funktionen mit abzählbar vielen Argumenten verallgemeinert werden. Eine Funktion f\colon X^\N\to Y heißt n-symmetrisch, wenn für alle Permutationen \sigma\in S_n und alle Elemente x_i \in X

f(x_1, \dotsc , x_n, x_{n+1}, \dots )=f(x_{\sigma(1)}, \dotsc , x_{\sigma(n)}, x_{n+1}, \dots )

gilt. Eine n-symmetrische Funktion ist also symmetrisch in den ersten n Argumenten. Eine Funktion f \colon X^\N\to Y heißt dann symmetrisch, wenn sie n-symmetrisch für alle  n \in \N ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konkrete Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Summe und das Produkt

f(x_1,x_2) = x_1 + x_2   bzw.   f(x_1,x_2) = x_1 \cdot x_2

sind symmetrisch, denn durch Vertauschung der beiden Operanden x_1 und x_2 verändert sich das Ergebnis nicht. Eine symmetrische Funktion dreier Variablen ist beispielsweise die Diskriminante

f(x_1,x_2,x_3) = ( x_1 - x_2 )^2 ( x_1 - x_3 )^2 ( x_2 - x_3 )^2,

Ein Beispiel für eine symmetrische Funktion, die keine Polynomfunktion ist, ist

f(x_1,x_2,x_3) = \max\{ | x_1 - x_2 | , | x_1 - x_3 | , | x_2 - x_3 | \}.

Allgemeinere Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weitere Kriterien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Nachweis der Symmetrie einer Funktion müssen nicht alle n! möglichen Permutationen der symmetrischen Gruppe S_n überprüft werden.

Vertauschungen zweier Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nachdem sich jede Permutation als Hintereinanderausführung von Transpositionen der Form (i ~ j) schreiben lässt, ist eine Funktion bereits genau dann symmetrisch, wenn sich der Funktionswert durch die Vertauschung zweier beliebiger Variablen x_i und x_j nicht verändert, also

f(\dotsc , x_i , \dotsc , x_j, \dotsc) = f(\dotsc , x_j , \dotsc , x_i, \dotsc)

für i,j \in \{ 1, \ldots , n \} mit i < j ist.

Vertauschungen benachbarter Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da sich jede Transposition auch als Hintereinanderausführung von Nachbarvertauschungen der Form (i ~ i+1) schreiben lässt, reicht es sogar aus, nur aufeinanderfolgende Variablen x_i und x_{i+1} zu betrachten. Es muss also für das Vorhandensein von Symmetrie lediglich

f(\dotsc , x_i , x_{i+1}, \dotsc) = f(\dotsc , x_{i+1} , x_i, \dotsc)

für i=1, \ldots , n-1 gelten.

Vertauschungen mit einer festen Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alternativ kann man auch die Transpositionen der Form (1 ~ i) betrachten und eine Funktion ist damit genau dann symmetrisch, wenn die erste mit der i-ten Variablen vertauscht werden kann, ohne dass sich der Funktionswert ändert. Zum Nachweis der Symmetrie reicht es also aus, wenn

f(x_1 , \dotsc , x_i, \dotsc) = f(x_i , \dotsc , x_1, \dotsc)

für i=2, \ldots , n gilt. Statt der ersten Variablen kann man auch eine beliebige Variable auswählen und diese mit allen anderen Variablen vertauschen.

Minimalkriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein minimales Erzeugendensystem der symmetrischen Gruppe S_n stellen die beiden Permutationen (1 ~ 2 ~ \ldots ~ n) und (1 ~ 2) dar. Deswegen ist eine Funktion bereits genau dann symmetrisch, wenn die beiden Bedingungen

f(x_1, x_2, \dotsc , x_n) = f(x_2, \ldots , x_n, x_1)

und

f(x_1, x_2, \dotsc , x_n) = f(x_2, x_1, \ldots , x_n)

erfüllt sind. Das Paar (1 ~ 2 ~ \ldots ~ n) und (1 ~ 2) kann dabei auch durch einen beliebigen Zyklus der Länge n sowie irgendeine Transposition aufeinanderfolgender Elemente in diesem Zyklus ersetzt werden.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die symmetrischen Funktionen bilden einen Untervektorraum im Vektorraum aller Funktionen von X^n nach Y (mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation), das heißt

  • ein skalares Vielfaches einer symmetrischen Funktion ist wieder eine symmetrische Funktion und
  • die Summe zweier symmetrischer Funktionen ist ebenfalls wieder symmetrisch,

wobei die Nullfunktion trivialerweise symmetrisch ist.

Symmetrisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Symmetrisierung, das heißt durch Summation über alle möglichen Permutationen

Sf(x_1, \dotsc , x_n) = \frac{1}{n!}\sum_{\sigma \in S_n} f(x_{\sigma(1)}, \dotsc , x_{\sigma(n)}),

lässt sich jeder nichtsymmetrischen Funktion f eine zugehörige symmetrische Funktion Sf zuordnen. Der Symmetrisierungsoperator S führt dabei eine Projektion auf den Untervektorraum der symmetrischen Funktionen durch.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  •  Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. Springer, 2008, ISBN 3-827-42018-0.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]